Teorema de godel

En lógica matemática, los teoremas de incompletitud de Gödel son dos célebres teoremas demostrados por Kurt Gödel en 1930. Simplificando, el primer teoremaafirma:
En cualquier formalización consistente de las matemáticas que sea lo bastante fuerte para definir el concepto de números naturales, se puede construir unaafirmación que ni se puede demostrar ni se puede refutar dentro de ese sistema.

Kurt Gödel
Este teorema es uno de los más famosos fuera de las matemáticas, y uno delos peor comprendidos. Es un teorema en lógica formal, y como tal es fácil malinterpretarlo. Hay multitud de afirmaciones que parecen similares a este primerteorema de incompletitud de Gödel, pero que en realidad no son ciertas. Éstas se comentan en Malos entendidos en torno a los teoremas de Gödel.
El segundo teorema dela incompletitud de Gödel, que se demuestra formalizando parte de la prueba del primer teorema dentro del propio sistema, afirma:
Ningún sistema consistente sepuede usar para demostrarse a sí mismo.

Kurt Gödel
Este resultado fue devastador para la aproximación filosófica a las matemáticas conocida como el programa deformalización Hilbert. David Hilbert propuso que la consistencia de los sistemas más complejos, tales como el análisis real, se podía probar en términos de sistemasmás sencillos. Finalmente, la consistencia de todas las matemáticas se podría reducir a la aritmética básica. El segundo teorema de la incompletud de Gödeldemuestra que la aritmética básica no se puede usar para demostrar su propia consistencia, y por lo tanto tampoco puede demostrar la consistencia de nada más fuerte.