Teorema De Hille Yosida

Definici´n y Propiedades o

Problema de Evoluci´n o

Teorema de Hille - Yosida
Enrique J´lvez M e
UTFSM

8 de junio de 2009

Enrique J´lvez M e Teorema de Hille - Yosida

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Definici´n y Propiedades o

Problema de Evoluci´n o

Esquema
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Operadores Maximales Mon´tonos: Definici´n y Propiedades o o Resoluci´n del Problema de Evoluci´n o o du + Au = 0, dt u(0) = u0 t≥0

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Teorema de Hille - Yosida Regularidad El caso Autoadjunto

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Operadores Maximales Mon´tonos: Definici´n y Propiedades o o Resoluci´n del Problema de Evoluci´n o o du + Au = 0, dt u(0) = u0 t≥0

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Operadores Maximales Mon´tonos: Definici´n y Propiedades o o Resoluci´n del Problema de Evoluci´n o o du + Au = 0, dt u(0) = u0 t≥0

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Operadores Maximales Mon´tonos: Definici´n y Propiedades o o Resoluci´n del Problema de Evoluci´n o o du + Au = 0, dt u(0) = u0 t≥0

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1 2Operadores Maximales Mon´tonos: Definici´n y Propiedades o o Resoluci´n del Problema de Evoluci´n o o du + Au = 0, dt u(0) = u0 t≥0

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Definici´n y Propiedades Elementales de los Operadores o Maximales Mon´tonos o En loque sigue H designa un espacio de Hilbert. Definici´n o Sea A : D(A) ⊂ H → H un operador lineal no acotado. A es mon´tono si o (Av, v) ≥ 0 ∀v ∈ D(A) A es maximal mon´tono si es mon´tono y adem´s o o a R(I + A) = H, i.e. ∀f ∈ H, ∃u ∈ D(A) tq u + Au = f

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Proposici´n 1 o Sea A unoperador maximal mon´tono. Entonces o
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D(A) es denso en H. A es cerrado. Para todo λ > 0, (I + λA) es biyectivo de D(A) sobre H, (I + λA)−1 es un operador acotado y (I + λA)−1 L(H) ≤ 1.

Demostraci´n o 1) Sea f ∈ H tal que (f, v) = 0 para todo v ∈ D(A). Comprobemos que f = 0. En efecto, existe v0 ∈ D(A) tal que v0 + Av0 = f . Se tiene 0 = (f, v0 ) = |v0 |2 + (Av0 , v0 ) ≥ |v0 |2 Por lo tanto,v0 = 0 y de ah´ f = 0 ı
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Proposici´n 1 o Sea A un operador maximal mon´tono. Entonces o
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D(A) es denso en H. A es cerrado. Para todo λ > 0, (I + λA) es biyectivo de D(A) sobre H, (I + λA)−1 es un operador acotado y (I + λA)−1 L(H) ≤ 1.

Demostraci´n o 1) Sea f ∈ H tal que (f,v) = 0 para todo v ∈ D(A). Comprobemos que f = 0. En efecto, existe v0 ∈ D(A) tal que v0 + Av0 = f . Se tiene 0 = (f, v0 ) = |v0 |2 + (Av0 , v0 ) ≥ |v0 |2 Por lo tanto, v0 = 0 y de ah´ f = 0 ı
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2) Observaciones 1 ∀f ∈ H, ∃!u ∈ D(A) tq u + Au = f
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Dados u, f tq u + Au = f . Se tiene|u| ≤ |f | El operador f −→ u notado (I + A)−1 es un operador lineal acotado de H en H y (I + A)−1 L(H) ≤ 1

Pdq: A es cerrado. Sea (un ) una sucesi´n tq un ∈ D(A) para todo o n, un → u y (Aun ) → f . Mostremos que u ∈ D(A) y Au = f

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