Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio

Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio
 
Teorema de Rolle: Si una función es continua en el intervalo [a,b] y es derivable en el intervalo abierto (a,b) y si f(a) = f(b), entonces f’(c) = 0para al menos un número c en (a,b).
Ejemplos:
1) Sea f(x) = x4 - 2x2. Demuestra que f satisface la hipotésis del teorema de Rolle en el intervalo [-2,2] y halla todos los números c en el intervaloabierto (-2,2) tal que f’(c) = 0.
Solución: Como f es una función polinómica entonces es continua y derivable para todo valor x. Por tanto, es continua en [-2,2] y derivable en el intervalo (-2,2).Además,
f(-2) = (-2)4 - 2(-2)2 = 16 - 8 = 8   y,  f(2) = (2)4 - 2(2)2 = 16 - 8 = 8.  Por lo tanto, f(-2) = f(2) = 8.
Luego, f’(x) = 4x3 - 4x
= 4x(x2 - 1)
= 4x(x + 1)(x - 1)
Por lo tanto, c = 0, -1, 1. Asíque, en el intervalo abierto (-2,2) la derivada es cero en esos tres puntos, esto es: f’(0) = 0, f’(-1) = 0 y f’(1) = 0. Gráficamente se puede observar que en los puntos (0,0), (-1,-1) y (1,-1) larecta tangente es horizontal.
Teorema del valor medio: Si f es una función continua en [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b), existe un número c en (a,b) tal que:

Ejemplo: Si f(x) = x3 - 8x -5, demuestra que f satisface la hipotésis del teorema del valor medio en el intervalo [1,4] y halla un número c en el intervalo abierto (1,4) que satisfaga la conclusión del teorema.
Solución: Comof es polinómica, es continua y derivable en todos los números reales.
Entonces, es continua en [1,4] y derivable en el intervalo abierto (1,4). De acuerdo con el teorema existe un número c en elintervalo abierto (1,4), tal que:


En cálculo, un punto crítico de una función de una variable real es cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0. Elvalor de la función en el punto crítico es un valor crítico de la función. Estas definiciones admiten generalizaciones a funciones de varias variables, mapas diferenciables entre Rm y Rn, y mapas...