Teorema de Rouché

Teorema de Rouché
Eugène Rouché (18321910) nació en Sommières
al sur de Francia, fue un
famoso matemático
francés. Es conocido por
ser el autor del
Teorema de Rouché sobre
análisis complejo

• Para realizar el Teorema de Rouché hay que
recordar los siguientes temas:
• Ecuaciones lineales
• Matriz
• Rango de una Matriz
• Rango de una Matriz por método de Gauss
• Rango de una Matriz porDeterminante
• El Teorema de Rouché permite conocer si un
sistema de ecuaciones tiene solución a partir
del estudio del Rango de la Matriz asociada al
sistema (matriz de coeficientes A y el rango de
la matriz ampliada).

• Consideremos un sistema de  m  ecuaciones
lineales con  n  incógnitas, cuya expresión
general es la siguiente:

• Sean A la matriz del sistema y A* la matriz
ampliada del sistema (conlos términos
independientes).

• Rango de una matriz: es el número de líneas de esa
matriz (filas o columnas) que son linealmente
independientes.
• Una línea es linealmente independiente de otra u
otras cuando no se puede establecer una
combinación lineal entre ellas.
• El valor máximo que puede tener el rango de una
matriz es el menor de los números
correspondientes al número de filas y columnas,es
decir, si una matriz tiene dimensión  3 x 5, el valor
máximo que puede alcanzar el rango de dicha
matriz es  3 
( pues 3 = mínimo {3 , 5} ).

• La matriz  A  tiene rango  3  puesto que
ninguna fila o columna se puede poner como
combinación lineal de las restantes.
• En cambio, la matriz  B  tiene rango  2,  ya
que las dos primeras filas no son
proporcionales, pero la tercera fila es igual ala segunda fila

menos el doble de la primera fila, por lo que no
puede tener rango  3, ya que la tercera fila es
combinación lineal de las otras dos.
El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o
r(A).
• También podemos decir que el rango es: el
orden de la mayor submatriz cuadrada no nula.
Utilizando esta definición se puede calcular el
rango usando determinantes.
• Se puede calcular el rangode una matriz por
dos métodos:

• 1º. Cálculo del rango de una matriz por el
método de Gauss: Para calcular el rango de la
matriz consiste en transformar, mediante
determinadas operaciones, la matriz dada en
otra, de modo que el elemento  a11 sea
distinto de cero, pero todos los de la primera
columna que están por debajo sean ceros; el
elemento a22 también tiene que ser distinto de
cero y todoslos de la segunda columna
situados por debajo tienen que ser nulos; el
elemento  a33 tiene que ser distinto de cero
pero todos los elementos de la tercera

columna situados por debajo tiene que ser
ceros; y así sucesivamente. El proceso
termina cuando el elemento  ann  sea
distinto de cero y no tenga otros elementos
debajo. Durante el proceso se eliminarán las
filas o columnas con todos suselementos
nulos. El rango de la matriz será el número
de filas con algún elemento distinto de cero.

•Las operaciones que se pueden realizar en una
matriz sin que varíe su rango son:
a) Permutar dos filas o dos columnas.
b) Multiplicar o dividir todos los elementos de una
fila o columna por un número real distinto de cero.
c) Sumarle a una fila (o columna) otra paralela a ella.
d) Sumarle a una fila(o columna) otra paralela a ella
multiplicada por un número.
e) Suprimir las filas o columnas cuyos elementos
sean todos nulos.
f) Suprimir una fila (o columna) proporcional a otra.

• En el caso más sencillo de que la matriz sólo
tenga dos filas (o dos columnas), será
suficiente comprobar si dichas filas (o
columnas) son proporcionales. Si son
proporcionales el rango es  1  y si no lo son elrango es  2.

Ejemplos:

• El rango de la matriz  A es  2  pues las filas no
son proporcionales.
• El rango de la matriz  B  es  1, ya que las filas
son proporcionales. La segunda fila es igual a
la primera multiplicada por  3.
• El rango de la matriz  C  es  4. Podría ser la
matriz obtenida al aplicar el método de Gauss.
Se muestra una matriz escalonada (en la
primera fila no hay ceros, en la...