TEOREMA DEL BINOMIO

TEOREMA DEL BINOMIO











PRESENTADO POR: ADOLFO ALVEIRO AGUDELO ACEVEDO
1090470860





PRESENTADO A:
















UNIVERSIDAD DEPAMPLONA
INGENERIA MECATRONICA
CALCULO INTEGRAL 2015
Teorema del binomioEn matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. Este teorema establece: Usando la fórmula paracalcular el valor de  (que también es representado ocasionalmente como  o ) ) se obtiene la siguiente representación:




El coeficiente de  en el desarrollo de es ; donde  recibe el nombre de coeficientebinomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:



Como ejemplo, paran=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientes del triangulo de pascal:

(2))

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2)queda de la siguiente forma:



Teorema generalizado del binomio (Newton):
Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:

(3))   

Donde r puede sercualquier número real (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:



(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto,igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).
Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:



La suma en (3) converge y laigualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.

Coeficiente binomial:
Para...