teorema del limite central y tecnicas de muestreo

Teorema del Límite Central
El Teorema del Límite Central dice que si tenemos un grupo numeroso de variables independientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribución (cualquiera que éste sea), la suma de ellas se distribuye según una distribución normal.
Ejercicio 1.
La renta media de los habitantes de un país se distribuye uniformemente entre 4,0 millones ptas. y 10,0 millones ptas.Calcular la probabilidad de que al seleccionar al azar a 100 personas la suma de sus rentas supere los 725 millones ptas.
Cada renta personal es una variable independiente que se distribuye según una función uniforme. Por ello, a la suma de las rentas de 100 personas se le puede aplicar el Teorema del LímiteCentral.
La media y varianza de cada variable individual es:
 = (4 + 10 ) / 2 = 7
 2= (10 - 4)^2 / 12 = 3
Por tanto, la suma de las 100 variables se distribuye según una normal cuya media y varianza son:
Media: n *  = 100 * 7 = 700
Varianza: n * = 100 * 3 = 300
Para calcular la probabilidad de que la suma de las rentas sea superior a 725 millones ptas, comenzamos por calcular el valor equivalente de la variable normal tipificada:

Luego:
P (X > 725) = P (Y > 1,44) = 1- P (Y < 1,44) = 1 - 0,9251 = 0,0749
Es decir, la probabilidad de que la suma de las rentas de 100 personas seleccionadas al azar supere los 725 millones de pesetas es tan sólo del 7,49%
Ejercicio 2.
En una asignatura del colegio la probabilidad de que te saquen a la pizarra en cada clase es del 10%. A lo largo del año tienes 100 clases de esa asignatura. ¿Cuál es la probabilidad de tener quesalir a la pizarra más de 15 veces?
Se vuelve a aplicar el Teorema Central del Límite.
Salir a la pizarra es una variable independiente que sigue el modelo de distribución de Bernouilli:
"Salir a la pizarra", le damos el valor 1 y tiene una probabilidad del 0,10
"No salir a la pizarra", le damos el valor 0 y tiene una probabilidad del 0,9
La media y la varianza de cada variable independienteses:
 = 0,10
 2 = 0,10 * 0,90 = 0,09
Por tanto, la suma de las 100 variables se distribuye según una normal cuya media y varianza son:
Media: n *  = 100 * 0,10 = 10
Varianza: n * = 100 * 0,09 = 9
Para calcular la probabilidad de salir a la pizarra más de 15 veces, calculamos el valor equivalente de la variable normal tipificada:

Luego:
P (X > 15) = P (Y > 1,67) = 1 - P (Y < 1,67) =1 - 0,9525 = 0,0475
Es decir, la probabilidad de tener que salir más de 15 veces a la pizarra a lo largo del curso es tan sólo del 4,75% (¡¡¡ ánimo !!!, no es tan grave)
ESTIMACIÓN
Se deben distinguir dos tipos de estimación: la estimación puntual y la estimación por intervalo.
La estimación puntual:consiste en asignar un único valor como estimación del parámetro; esta estimación se utilizacuando queremos conocer el valor concreto de un parámetro poblacional y no disponemos de este valor.
La estimación por intervalo: es aquella que calcula un intervalo que contenga entre sus límites, con cierta probabilidad, el verdadero valor del parámetro poblacional. Este intervalo se llama INTERVALO DE CONFIANZA.
La estimación por intervalo
Ejemplo
Hallemos un intervalo de confianza, del95%, de µ, número medio de microgramos de partículas en suspensión por metro cúbico de aire, sobre la base de una muestra aleatoria de tamaño 5 dada en la que se ha calculado que una estimación puntual de µes . Supongamos que por experiencias anteriores se sabe que , número de microgramos de partículas en suspensión por metro cúbico de aire, está normalmente distribuido, con varianza . Queremosextender la estimación puntual a un intervalo, de forma talque podamos tener una confianza del 95 % de que el intervalo obtenido contenga al verdadero valor de µ . Es decir, queremos determinar y de forma que Así:


Para hacerlo así, consideremos la partición de la curva normal tipificada dibujada en la siguiente figura:

Partición de Z para obtener un intervalo de confianza de µ del 95 %...