Teorema del límite central

Teorema del límite central

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Teorema del límite central
El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, si Sn es la suma de n variablesaleatorias independientes, entonces la función de distribución de Sn «se aproxima bien» a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss). Así pues, elteorema asegura que esto ocurre cuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo suficientemente grande.[1][2]

Definición
Sea la función de densidad de la distribución normaldefinida como[1]

con una media µ y una varianza σ2. El caso en el que su función de densidad es

, a la distribución se le

conoce como normal estándar. Se define Sn como la suma de n variablesaleatorias, independientes, idénticamente distribuidas, y con una media µ y varianza σ2 finitas (σ2≠0): de manera que, la media de Sn es n·µ y la varianza n·σ2, dado que son variables aleatoriasindependientes. Con tal de hacer más fácil la comprensión del teorema y su posterior uso, se hace una estandarización de Sn como

para que la media de la nueva variable sea igual a 0 y la desviaciónestándar sea igual a 1. Así, las variables Zn convergerán en distribución a la distribución normal estándar N(0,1), cuando n tienda a infinito. Como consecuencia, si Φ(z) es la función de distribución deN(0,1), para cada número real z:

donde Pr( ) indica probabilidad y lim se refiere a límite matemático.

Enunciado formal
De manera formal, normalizada y compacta el enunciado del teorema es:[3]Teorema del límite central: Sea , , ..., un conjunto de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas con

media μ y varianza σ2 distinta de cero. Sea

Entonces .

Es muycomún encontrarlo con la variable estandarizada Zn en función de la media muestral

,

puesto que son equivalentes, así como encontrarlo en versiones no normalizadas como puede ser:[4][5]...