Teorema Del Seno

TEOREMA DEL SENO
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Es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de losángulos opuestos respectivamente.
Se presenta de la siguiente forma:
Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b,c, entonces:
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Demostración

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El teorema de los senos establece que a/sin A es constante.
Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro ydibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.
Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es undiámetro. Además los ángulos A y P son iguales, ya que ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC. Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene que:[pic]
Donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:
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Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que lastres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.
La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:
Para un triánguloABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:
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Puede enunciarse elteorema de una forma alternativa:
En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.El teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del triángulo y dos ángulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados.