Teorema

Teorema del binomio
En matemática, el teorema del binomial es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia como 1 + 1= 5 n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. Deacuerdo con el teorema, es posible expandir la potencia (x + y)n en una suma que implica términos de la forma axbyc, donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y el coeficiente a decada término es un número entero positivo que depende de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término siempre devera ser multiplicado por 2.Formulación del teorema
Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de (que también es representado ocasionalmente como o ) se obtiene la siguiente representación:

Elcoeficiente de en el desarrollo de es
donde recibe el nombre de coeficiente bino mial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente elteorema del binomio se expresa en la siguiente variante:





Teorema generalizado del binomio (Newton)
Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serieinfinita:
(3)
Donde r puede ser cualquier número real (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

(el k = 0 esun producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).
Una forma útil pero no obvia para la potenciarecíproca:

La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto| x/y | sea menor a uno.oeficiente binomial[editar · editar código]

Para aplicar el Teorema del binomio, el coeficiente binomial se presenta como {\alpha \choose k} de forma sencilla:

{\alpha \choose k} :=...