Teoremas De Translación

TRANSFORMADAS DE LAPLACE
4. TEOREMAS DE TRANSLACIÓN
Hasta ahora nos hemos valido de otras funciones para poder resolver las transformadas de Laplace, pero en muchos casos no conoceremos la función, es decir, no se parecerá a ninguna de las funciones con las que solemos tratar (por ejemplo la función 4.1). Por lo tanto tendremos que basar nuestro estudio en teoremas, los cuales nos ayudarán aencontrar la transformada de más funciones.
s3(s + 1)2 + s4 (4.1)
Veamos pues, que teoremas podemos utilizar para la resolución de transformadas como esta.
PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN
Si L f (t) = F (s), entonces L eatf (t)=F (s-a)
Este teorema recibe este nombre debido a que la función F(s) está desplazada o trasladada en a. La utilidad de este teorema es encontrar todas las transformadasde funciones de la forma eat f t, siendo f (t) una función cualquiera. De esta forma sabiendo que la transformada de f (t) es f (s) la s que encontremos en esa transformada f (s) la trasladaremos en a.
Primero es conveniente saber cual es la deducción del teorema.
Por definición sabemos que:
F s= 0∞e-st f (t)dt
Por lo tanto con s desplazada queda que:
F s-a= 0∞e- (s-a)t f tdt=0∞e-st eat f tdt
Reconozcamos esa integral, es la transformada de Laplace de la función eat f (t), quedando así demostrado el primer teorema de traslación.
F s-a=L eat f (t)
Por lo tanto según este teorema, cuando tenemos una función de la variable independiente t (f (t)) multiplicada por eat se va a dar un desplazamiento de esa función en (s – a). Si el dominio de esa función f(t) es el tiempo, la exponencial provocará un desplazamiento en la línea del tiempo hacia a.
Observemos también la diferencia entre la transformada inversa de F (s) y la de F (s – a):
L-1 F s=f t
pero cuando s esta trasladada, tenemos que:
L-1 F s-a= eat f (t)
Utilizando la Transformada de Laplace y gracias al teorema de la traslación podremos convertir un factor exponencial en una traslaciónen la variable.
Tras aclarar bien su definición y utilidad, y habiendo demostrado el teorema veamos ejemplos que nos ayuden a terminar de comprender el primer teorema de traslación:
L e4t cosh (8t) (ejemplo.1)
Como vemos nos dan un producto de dos funciones donde debemos reconocer que cosh (8t) es f (t) y que según el teorema (4.3) a=4. Primero resolvemos la transformada de Laplace de f (t).L cosh (8t)= ss2-64
Tras esto nos fijamos en que e4t implica un desplazamiento en a. Por lo tanto queda que:
L e4t cosh (8t)= s-4(s-4)2-64

L e2t t3 (ejemplo.2)
Tras reconocer que f t=t3 y que a=2 simplemente es seguir los pasos de antes.
L t3= 3!s4
por lo tanto si s esta trasladada:
L e2t t3= 3!(s-2)4

L-1 2s2 -2s-15 (ejemplo.3)
Para poder resolver esta Transformada debemos factorizary aplicar fracciones parciales.
2s -5 (s+3)= As-5+ Bs+3
2 = sA + 3A+sB+sB Igualamos numeradores.
3A-5B=2 Identificamos términos independientes.
A+B=0, A= -B Identificamos términos en s.
B= - 14 A = 14 Hayamos A y B quedando que:
L-1 14s-5+ 14s+3
Aplicando la propiedad de linealidad, extraemos las constantes fuera de la transformada y separamos en dos transformadas inversas. Yconociendo la propiedad de translación aplicada a la transformada inversa vista en la ecuación (4.5) terminamos de resolver la transformada.
L-1 14s-5+ 14s+3= 14 L-11s-5- 14 L-1 1s+3=
= 14 e5t- 14 e-3t

L-1 1s2- s + 6 (ejemplo.4)
Como podemos comprobar, el denominador no es factorizable, por lo tanto completamos cuadrados. Siempre que completemos cuadrados va a haber un desplazamiento.
Paracomplementar cuadrados sea la función ax2+bx+c, primero debemos comprobar que el coeficiente en x2 es 1 como en este caso, de lo contrario multiplicamos y dividimos todos lo términos de la expresión por a quedando:
a x2+b2x+ ca
El segundo paso sería dividir el coeficiente en x entre 2 y elevas el resultado al cuadrado:
b2a2 = b24a2
A la expresión del principio le sumamos y restamos este resultado...