Teoremas

Teorema fundamental del cálculo

Consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continuaintegrable verifica que la integral de su derivada es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

Primer teorema fundamental delcálculo

Dada una función f integrable sobre el intervalo [a, b], definimos F sobre [a, b] por .
Si f es continua en , entonces F es derivable en c y F'(c) = f(c).

Consecuencia directa delprimer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:

Siendo f (t) una función integrable sobre el intervalo [a(x), b(x)] con a(x) y b(x) derivables

Demostración

Lema:
Sea f integrable sobre[a, b] y

Entonces
entonces;

Por definición se tiene que .
Sea h>0. Entonces .
Se define mh y Mh como:
,


Aplicando el 'lema' se observa que
.

Por lo tanto,

Sea h < 0. Sean,
.
Aplicando el 'lema' se observa que
.
Como
,
Entonces,
.
Puesto que h < 0, se tiene que
.
Y como f es continua en c se tiene que
,
Y esto lleva a que
.

Segundo teoremafundamental del cálculo

También se le llama regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow o regla de Newton-Leibniz.

Dada una función f continua en el intervalo [a,b] y sea g cualquier función primitivade f, es decir g'(x)=f(x) para todo , entonces:


Este teorema se usa frecuentemente para evaluar integrales definidas.

Demostración
Sea
.
Tenemos por el primer teorema fundamental delcálculo que:
.
Por lo tanto,
Tal que .
Observamos que
0 = F(a) = g(a) + c
y de eso se sigue que c = − g(a); por lo tanto,
F(x) = g(x) − g(a).
Y en particular si x = b tenemos que:Teorema del valor medio para integrales

En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de LaGrange), también llamado teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-LaGrange o teoría del...