Teoria de conjuntos

TEORÍA DE CONJUNTOS
DEFINICIÓN Y NOTACIÓN DE CONJUNTOS Y CLASIFICACION.
El término conjunto juega un papel fundamental en el desarrollo de las matemáticas modernas; Además de proporcionar las bases para comprender con mayor claridad algunos aspectos de la teoría de la probabilidad. Su origen se debe al matemático alemán George Cantor (1845 – 1918).
Podemos definir de manera intuitiva a unconjunto, como una colección o listado de objetos con características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado. Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente:
La colección de elementos debe estar bien definida.
Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, generalmente, estos elementos deben ser diferentes, si uno de ellos se repite se contará sólo unavez. El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia.

NOTACIÓN
A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas A, B, C,... y a los elementos con letras minúsculas a, b, c,..., por ejemplo, el conjunto A cuyos elementos son los números en el lanzamiento de un dado.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se puedenclasificar en conjuntos finitos e infinitos.

FINITOS: Tienen un número conocido de elementos, es decir, se encuentran determinados por su longitud o cantidad. El conjunto de días de la semana.

INFINITOS: Son aquellos en los cuales no podemos determinar su longitud. El conjunto de los números reales. Existen dos formas comunes de expresar un conjunto y la selección de una forma particular deexpresión depende de la conveniencia y de ciertas circunstancias siendo:

EXTENSIÓN: Cuando se describe a cada uno de los elementos.
A = {a, e, i, o, u}
COMPRENSIÓN: Cuando se enuncian las propiedades que deben tener sus elementos.
A = {x | x es una vocal}

Para describir si un elemento pertenece o no a un conjunto, se utiliza el símbolo de pertenencia o es elemento de, con el símbolo _, encaso contrario _.

A = {1, 2, 3}
2 _ A; 5 _ A

TIPOS DE CONJUNTOS
CONJUNTO VACIÓ O NULO: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por _ o { }.
A = {x2 + 1 = 0 | x _ R}
El conjunto A, es un conjunto vacío porque no hay ningún número real que satisfaga a x2+1 = 0

CONJUNTO UNIVERSAL: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una población o universo, en un problema enespecial. No es único, depende de la situación, denotado por U o _.

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
IGUALDAD DE CONJUNTOS
Considerando el conjunto A y el conjunto B, si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada elemento que pertenece a A también pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A.
A = B
SUBCONJUNTO
Si todo elemento de un conjunto A es también elementode un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Representado por el símbolo _.
A _ B o B _ A

SUBCONJUNTOS PROPIOS
Se dice que es un subconjunto propio de A sí todos los elementos de un conjunto B se encuentran incluidos en él A, denotado por _.

A _ B o B _ ACONJUNTO POTENCIA
La familia de todos los subconjuntos de un conjunto se llama conjunto potencia. Si un conjunto esfinito con elementos, entonces el conjunto potencia tendrá 2n subconjuntos.
A = {1, 2 }
El total de subconjuntos es:
22 = 4
{1,2}, {1}, {2}, { }
CONJUNTOS DISJUNTOS
Son aquellos que no tienen elementos en común, es decir, cuando no existen elementos que pertenezcan a ambos.
F = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
G = {a, b, c, d, e, f}
PARTICIÓN
Cuando un conjunto es dividido en subconjuntos mutuamenteexcluyentes y exhaustivos, se le denomina partición.

OPERACIONES DE CONJUNTOS
Unión, Intersección, Diferencia, Complemento y Producto cartesiano.
UNIÓN DE CONJUNTOS. Sean A y B dos subconjuntos cualesquiera del conjunto universal. La unión de A y B, expresada por AB, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o pertenecen a B.
A B = {x | x _ A o x _ B}

INTERSECCIÓN DE...