Teoria de conjuntos

TEORIAS DE CONJUNTOS
NOCIONES DE CONJUNTOS
En la naturaleza se encuentran objetos, los cuales se pueden agrupar de distintas maneras, pero para que estas agrupaciones tengan algún sentido, se deben agrupar de acuerdo a un cierto criterio, parámetro o característica.
Cuando los objetos se agrupan de acuerdo al menos en alguna característica común a cada uno de los objetos, estos objetos pasan aser elementos de una colección.
Una colección con elementos que poseen una característica común, se llama conjunto.
Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas tales como: A, B, C, etc.
La noción de conjunto
Es acepta como sinónimo de las nociones usual de
colección, agrupación de objetos, etc. Los objetos de un conjunto se llaman: miembros o
elementos, sin embargo, de éstos dostérminos el más usado es “elemento”.
Cuando nos referimos a los objetos que componen un conjunto A, entonces usamos

Pertenencia
Lo necesario para dar un conjunto es conocer sus elementos. Estas dos
palabras: conjunto y elemento, están relacionadas por la pertenencia o no de un
determinado objeto a un determinado conjunto.
Las palabras conjunto y elemento son precisadas por las siguientesreglas:
a) Un conjunto X está bien definido cuando se dispone de un criterio para afirmar
que cualquier objeto a, pertenece al conjunto X o si no pertenece al conjunto X. Si el objeto
a pertenece al conjunto X se usa el símbolo de pertenencia “
” escribiendo a
X, el cual se
lee “a pertenece a X” o “a es un elemento de X”. Si el objeto a no pertenece al conjunto X
se usa el símbolode no pertenencia “
”, así escribimos a
X, el cual se lee “a no pertenece
a X” o “a no es elemento de X”.
b) Un objeto no puede ser a la vez un conjunto y un elemento de ese conjunto, es
decir, no es aceptado que pueda suceder a
a.

Formas de expresar los
conjuntos: Los conjuntos pueden ser expresados de las
siguientes formas

POR EXTENSION
Cuando se nombran todos y cada unode sus elementos.


POR COMPRENSION
Cuando se indica una propiedad que caracteriza a sus elementos.
Ejemplos

Como podemos observar en los ejemplos 1, se nombran los todos elementos de cada conjunto, mientras que en los ejemplos 1.se indicó la característica común a los elementos de
cada conjunto.

CLASES DE CONJUNTOS

CONJUNTO UNITARIO
Es todo conjunto que está formado porun sólo y único elemento.
Ejemplos
A = { 5 }
B = {números pares entre 6 y 10} = { 8 }
C = {la capital del Perú } = { Lima }
D = {x / 2x = 6} = {3}

CONJUNTO VACÍO
Es un conjunto que carece de elementos. Se suele llamarle conjunto nulo, y se le denota por el símbolo ø o { }.
Ejemplos
A = { Los perros que vuelan } A = { } A = Ø
B = { x / x es un mes que tiene 53 días} B ={ } B = Ø
C = { x / x3 = 8 y x es impar } C = { } C = Ø
D = { x / x es un día de 90 horas } D = { } D = Ø

CONJUNTOS FINITOS
Un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos distintos, es decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar. En caso contrario, el conjunto es infinito.
Ejemplos
M = { x / x es un río de latierra } Conjunto finito
P = { x / x es un país de la tierra } Conjunto finito


CONJUNTOS INFINITOS
Un conjunto es infinito si no consta de un cierto número de elementos distintos, es decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar no puede acabar. En caso contrario, el conjunto es finito.
Ejemplos
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } Conjunto infinitoV = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... } Conjunto infinito

NOTACION
La notación de conjunto es la simbología que se usa en la Teoría de conjunto.
Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K,...
Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten...