Teoria De Conjuntos

Conceptos básicos teoría de conjuntos

Un Conjunto es cualquier colección de objetos el cual pueden ser tratado como una entidad, y un objeto de la colección se dice que es un elemento o miembro del conjunto. Dado un objeto x y un conjunto S, si x es un elemento del conjunto S, lo podemos escribir como x S; si x no es un elemento del conjunto S, podemos escribirlo como (x S) o también x S.Los términos conjunto, colección y clase son usados como sinónimos, así como también los términos elemento o miembro.
Hay que hacer notar que no hemos dado una definición formal de conjuntos ni una base para decidir cuando un objeto es un miembro de un conjunto. Como en cualquier otra teoría matemática, no siempre se hace énfasis en los conceptos básicos o en las nociones indefinidas (como porejemplo, punto o línea en geometría); la definición de conjunto y la relación es un elemento de son conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos. Como consecuencia de no tener definiciones para estos conceptos, no tenemos una prueba para determinar cuando algo es un conjunto o cuando, un objeto dado, es un elemento de un conjunto especificado. Por no tener una prueba, debemos de confiar en unsentido común del significado de los términos.
Casi cualquier cosa puede ser puede ser tratada como conjunto, viéndola desde un punto de vista muy matemático, lo que trataremos de ilustrar con los siguientes ejemplos.
El conjunto de enteros no negativos menores que 4. Éste es un conjunto finito con cuatro miembros: 0, 1, 2 y 3.
El conjunto de libros en la biblioteca del ITQ en este momento. Éstetambién es un conjunto finito. Un conjunto que tal vez sea difícil de listar dado que en éste momento pueden estar prestando y devolviendo libros, es decir hay flujo constante.
El conjunto de nombres de las personas que hablaron a Tombuctú el 15 de febrero del año 810 a. C. Éste es un conjunto finito que seguramente tendrá por lo menos un elemento. Aunque éste tiene una característica que talvez no concuerde con la realidad por la cual será difícil determinar los miembros del conjunto, muchos matemáticos dicen que no hay porque no considerarlo un conjunto.
El conjunto de dinosaurios vivos en el Museo Británico. Asumiendo que no se están realizando experimentos siniestros en dicho museo, éste conjunto tiene la propiedad de no tener ningún elemento, a lo que llamamos conjunto nulo ovacío.
El conjunto de enteros mayores que 3. Como es de suponerse, éste se trata de un conjunto infinito y no hay ninguna dificultad para definir cualquiera de los miembros de éste conjunto.
Desde que un conjunto es caracterizado por sus miembros, un conjunto puede ser especificado por declaración cuando un objeto está en el conjunto. Un conjunto finito puede ser especificado explícitamente por unalista de sus elementos. Los elementos de la lista deben ser separados por comas y la lista encerrada en llaves ( { } ), como lo muestran los siguientes ejemplos:
El conjunto que contiene los elementos A, B y C está denotado por { A, B, C }.
El conjunto que contiene todos los enteros pares no negativos menores que 10 es especificado por { 0, 2, 4, 6, 8 }.
Los elementos de un conjunto infinito nopueden ser listados explícitamente; en consecuencia, necesitamos una forma para describirlos implícitamente. La especificación implícita frecuentemente es hecha por el significado de predicados con una variable libre. El conjunto es definido de manera que los elementos del universo establecido por el conjunto hagan el predicado verdadero. De aquí, si P (x) es un predicado con una variable libre,el conjunto { x | P(x) } denota el conjunto S tal que c S si y sólo si P (c) es verdadero.
Los siguientes ejemplos son de especificaciones implícitas de conjuntos. Las dos primeras son de conjuntos infinitos; la tercera es un conjunto finito.
El conjunto de enteros mayores que 10 es especificado por
{ x | x I x >10 }
El conjunto de enteros pares puede ser especificado como
{ x | y...