Teoria De Conjuntos

MATEMATICA I
Lic. Máximo Tejero Alegre
TEORIA DE CONJUNTOS I
• Un conjunto es una colección de objetos bien definida.
• Ejemplos:
conjunto de personas adultas mayores de 65 años,
conjunto de estudiantes universitarios,
conjunto de consumidores, conjunto de empresas,
conjunto de los números naturales, etc.

Notación de conjuntos
• Los conjuntos se representan por letrasmayúsculas y sus elementos por letras minúsculas, en caso corresponda.
• Por ejemplo: A = { a, e, i, o, u }
se lee: el conjunto A formado por los elementos: a, e, i, o, u; es decir, las
vocales.
B = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes , sábado, domingo} los días de la semana.

Conjuntos Especiales
. Conjunto vacío: es aquel conjunto que no tiene elementos.
Se le representa por: ØA = { x / x ≠ x }
B = { x ∈ Z / x2 + x + 1 = 0 }
2. Conjunto unitario: es aquel conjunto que tiene un solo elemento.
A = { 3, 3, 3, 3, 3 } = { 3 }
B = { x ∈ N / x2 - x - 2 = 0 }
. Conjunto universal: es aquel que tiene todos los posibles valores que puede tomar la variable x, en una determinada
discusión. Se le representa por U.

El conjunto: U = {x є Z / -2 ≤ x ≤ 7 } puedeconsiderarse universal para los conjuntos:
* A = {-2, -1, 0, 1, 2}
* B = {-1, 7}
. Conjunto finito: en caso se puede listar todos los elementos del conjunto.
Por ejemplo:
A = {1, 2, 3, 4}
B = el conjunto de los dias de la semana.
5. Conjunto infinito: en caso no se pueda listar los elementos del conjunto.
Por ejemplo:
A = {1, 2, 3, 4, …}
B = el conjunto de los números reales.Relación de Pertenencia
• Si x es un elemento del conjunto A, escribiremos:
x ∈ A y leeremos: “x pertenece al conjunto A”
• En caso contrario, escribiremos:
x ∉ A y leeremos: “x no pertenece al conjunto A”
• La relación de pertenencia vincula:
Elemento con Conjunto
Relación de Pertenencia
Ejemplo: utilice ∈ o ∉ para indicar si el objeto determinado es un elemento del conjunto dado:
a) x, {x,y, z, a}
b) 3, {1, 2, 3, 4, 5, 6}
c) 12, {1, 2, 3, 4, …}
d) 5, {x / x es un numero natural mayor que 5}
e) 6, {x / x es un numero natural menor o igual que 6}

Comparación entre Conjuntos

Al establecer una comparacion entre dos conjuntos (A y B),puede suceder tres cosas:
a) Que todos los elementos del conjunto B pertenezcan también al conjunto A, entonces se dice que B es unsubconjunto de A.
b) Que ningún elemento de B pertenezca al conjunto A, en ese caso, se dice que los conjuntos son disjuntos.
c) Que entre ambos conjuntos existan elementos comunes. (interseccion)

Relaciones entre Conjuntos

Relación de inclusión: diremos que A esta contenido en B (o es subconjunto de B),
si y solo si cada elemento de A es también elemento de B.
Simbólicamente: A с B ↔Para todo x:
x є A ⇒ x є B
La relación de inclusión vincula:
Conjunto con Conjunto
Conjuntos Numéricos
Naturales:
N = {0, 1, 2, 3, …}
Enteros:
Z = { …,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Racionales:
Q = { a/b / a y b є Z, b ≠ 0 }
Irracionales:
I = { x/x tiene representación decimal infinita no periódica }
Reales: Q U I
Determinación de los conjuntos

Un conjunto queda determinadoo definido cuando es posible decidir si un elemento dado pertenece o no al conjunto.
1. Por extensión: cuando se mencionan todos los elementos del conjunto
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} B = { 2, –2/5, 3 }
2. Por comprensión: cuando se enuncia una propiedad que deben cumplir todos sus elementos:
A = { x є N / x < 7 }
B = { x є R / (x – 2) (5x + 2 ) (x - 3) = 0 }
Ejemplos de AplicaciónDeterminar por comprension los siguientes conjuntos:
a) A = {–3, –8, –13, –18, –23, …}
b) B = {4, 11, 22, 37, 56, …}
c) P = {2, 3, 8, 17, 30,…}
d) Q = {2, 4, 6, 8, 10, …}
e) R = {5, 10, 15, 20, …}
Número de elementos de un conjunto
Si A es un conjunto finito, n(A) representara el numero de elementos
del conjunto A (su cardinal).

Ejemplo:
Sean:
A = { 0, 1, 2, 3 } ⇒ n...