teoria de conjuntos

Teoría de Conjuntos
I.

INTRODUCCIÓN
La teoría de conjuntos es una de las partes de la matemática que se desarrolló
desde fines del siglo XIX. Ha introducido términos como pertenencia,
inclusión, unión y otros con significados rigurosos y su uso, sin duda, ha
permitido mejorar la precisión del lenguaje en áreas de conocimiento como la
teoría de relaciones y funciones, la teoría de lasprobabilidades entre otras.
Conocerla, al menos en sus aspectos fundamentales, es una necesidad para
cualquier estudiante de estudios superiores.

II. CONJUNTO
Un conjunto es una colección de objetos, a los cuales llamaremos elementos
del conjunto. Entiéndase por objetos: mesas, personas, ideas, lenguajes,
letras, etc.
Notaciones
Para denotar conjuntos se utilizarán letras mayúsculas: A, B,C, etc.
Para hacer referencia a los elementos de un conjunto se utilizarán letras
minúsculas: a, b, c, etc.
Relación entre elemento y conjunto
La relación entre un elemento y un conjunto se da por medio de la relación
de pertenencia.
Si el conjunto A está formado por los elementos a, b y c, se escribe:
A  {a ; b ; c} .
Si a es un elemento del conjunto A, se escribe:
“ a  A ” y se lee:“a pertenece a A”.
Si d no es un elemento del conjunto A, se escribe:
“ d  A ” y se lee: “d no pertenece a A”.
Determinación de un conjunto
1. Por extensión.
Un conjunto se determina por extensión cuando se listan cada uno de los
elementos que lo constituyen.
Ejemplos:
 A = {a; e; i; o; u}
 B = {cuadrado; rectángulo; trapecio; rombo; paralelogramo}

2. Por comprensión.
Un conjunto sedetermina por comprensión cuando se enuncia una
propiedad que caracteriza a todos sus elementos.
Ejemplos:
 A  {x / x es vocal }
 B  {x / x es cuadrilátero }
Conjuntos especiales
1. Conjunto nulo o vacío.
Es aquel conjunto que carece de elementos. Se denota por: “  ” o por
“{ }”.
Ejemplos:
 A  {x / x es alumno del Programa Propedéutico 2011 que nació en el
año 2008 }
 B  {x /x  A  x  A }
2. Conjunto unitario.
Es aquel conjunto que posee un único elemento.
Ejemplos:
 A  { 2}
 A  { x / x es el alcalde de Miraflores }
3. Conjunto finito.
Es aquel conjunto que posee una cantidad limitada de elementos.
Ejemplos:
 A  {x / x es una cifra del sistema nonario }
 B  {x / x es departamento del Perú }
4. Conjunto infinito.
Es aquel conjunto que posee unacantidad ilimitada de elementos.
Ejemplos:
 A  {x / x es un número par }
 B  {x / x es un número primo }
5. Conjunto universal
Al analizar conjuntos particulares, siempre se supone que los conjuntos
que se analizan están dentro de algún conjunto más grande llamado

conjunto universal que se denota por U. Solo en el caso en que se indique
lo contrario, se dirá que U = ℝ.
Ejemplo:
Apartir del conjunto universal U = {1; 2; 4; 5; 7; 8; 9}, pueden
construirse los conjuntos A = {1; 2}, B = {1; 4} y C = {5; 7}.
Cardinal de un conjunto
El cardinal de un conjunto A es el número de elementos de dicho conjunto.
Se denota por n(A).
Ejemplo:
Si A = {1; 4; 9; 16; 25} entonces n(A) = 5.
Observación
Si A   entonces n( A)  0 .
Relaciones entre conjuntos
1. Inclusión.
Sean A y Bdos conjuntos. Si todo elemento de A pertenece a B, se dice
que A está incluido en B, o que A es subconjunto de B y se denota: “
A  B ”.
Simbólicamente:  x U , x  A  x  B .
El conjunto vacío es un subconjunto de todos los conjuntos.
Ejemplo:
Sean A = {2; 4; 6} y B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. Como 2  B , 4  B y
6  B se concluye que A  B .
2. Igualdad de conjuntos.
Sean A y B dosconjuntos. Se dice que A y B son iguales, si poseen los
mismos elementos. Equivalentemente, si todo elemento del primer
conjunto pertenece al segundo, y todo elemento del segundo conjunto
pertenece al primero. Simbólicamente: A  B  A  B  B  A .
Ejemplo:
Sean los conjuntos A = {1; 2; 1; 2; 1; 2; 1}, B = {1; 2}, todo elemento del
conjunto A pertenece al conjunto B y viceversa. Luego,...