Teoria De Conjuntos

DEFINICION DE LAS TEORIAS DE CONJUNTOS
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.[1]
Sin embargo, la teoría de los conjuntos es losuficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.
Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudioper se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, los razonamientos y técnicas de la teoría de conjuntos se apoyan en gran medida en lalógica matemática.
CARACTERISTICAS DE LOS CONJUNTOS

Las características de un conjunto son las siguientes:

1.- Debe de ser explicito; que exprese con claridad una cosa.

2.- No se repite; que sea diferente.

3.- cardinalidad; que es el número de elementos que tiene un conjunto

4.- se representa con letra mayúscula.

CONJUNTO UNIVERSAL (U) TODOS PERTENECEN A EL.

PROPIEDADES DECONJUNTOS

Propiedades de la unión de conjuntos:
1. Propiedad idempotente. Puede exponerse mediante la siguiente expresión, que por ser tan lógica, no necesita más explicación:
* VA => A = A
2. Propiedad conmutativa. Es también evidente:
* AUB = BUA
3. Propiedad asociativa. Dados tres conjuntos A, B y C se verifica que:
* (AUB)UC = AU(BUC) = AUBUC
Se puede demostrar mediante unejemplo sencillo. Sean: A = {m, n, p}, B ={j, k, l}, C = {r, p, l}.
El nuevo conjunto y éste unido con el conjunto C, dará como resultado el conjunto: (AUB)UC = {m, n, p,j,k,l,r}
ahora bien, si hacemos antes la unión de B con C tendremos: BUC = {j,k,l,r,p} que unido con el conjunto A nos da: AU(BUC) = {m, n, p, j,k,l,r,p}
Luego, los conjuntos (AUB)UC y AU(BUC) son iguales por estar formados porlos mismos elementos.
Intersección de conjuntos. Se llama intersección de dos conjuntos A y B, y se representa por AnB, al nuevo conjunto que tiene por elementos todos los elementos comunes a A y a B. Es lógico que la intersección de dos conjuntos disjuntos sea el conjunto vacío (no tiene elementos).
Ejemplo: Dados los conjuntos A = { d, f g, h } y B = { b, c, d, f }, su intersección será: AnB ={d,f}
La representación gráfica de dicha intersección esta representada en la figura, en la cual la intersección es la parte rayada.
Propiedades de la intersección. Son las mismas que las de la unión; por tanto, las expresaremos de la forma siguiente:
1. Propiedad idempotente: VA => AnA = A
2. Propiedad conmutativa: AnB = BnA
 Propiedad asociativa: (AnB)nC = An(BnC)
Propiedadescomunes a la unión y a la intersección.
 Ley de absorción. Tiene dos formas distintas que se expresan: An(AUB) = A y Au(BnC)
Expongamos un ejemplo como comprobación:
A = {1, 2, 3 , 4} y B = {1, 2, 3, 6}.
Hagamos primero la unión de A con B: AUB = {1,2,3,4,6}
y ahora, la intersección del mismo con el conjunto
A: An(AUB) = {1, 2, 3 , 4} = A
Análogamente:
AnB = {1, 2, 3}, AU(AnB) = {1, 2, 3 ,4} = A B) = { 1,2, 3, 4 } = A.

2. Ley distributiva. Tiene también dos formas de expresión: De la unión respecto de la intersección: (AnC)UC = (AUC)n(BUC)
De la intersección respecto de la unión: (AUB)nC = (AnC)U(BnC)
Estas dos propiedades comunes a las dos operaciones nos indican que ambas tienen la misma fuerza, existe entre ellas una completa analogía.

APLICACIÓN DE LOS CONJUNTOS
Se...