Teoria de conjuntos

UNIDAD 2
CONJUNTOS

OBJETIVOS ESPECÍFICOS. Al término de la unidad, el alumno será capaz de:

♦ ♦ ♦

Comprender y aplicar los conceptos básicos de conjuntos. Realizar las operaciones básicas entre conjuntos y utilizar diagramas de Venn para representarlas. Realizar el producto cartesiano entre conjuntos.

U
A B

A − B =lo rayado

2) CONJUNTOS
En el estudio de cualquier rama de lasmatemáticas, resulta conveniente emplear la notación y la terminología de la teoría de conjuntos. En este texto se presentan las ideas fundamentales de la teoría de conjuntos de una forma intuitiva pero precisando los conceptos que serán utilizados en los temas posteriores.

2.1. Definición y notación Un conjunto es un concepto matemático que no tiene definición, aunque se considera que estácompuesto por objetos que satisfacen una característica determinada. Ejemplos de conjuntos. 1. Los números 1, 2, 3, 4. 2. Las soluciones de la ecuación x 2 + 8 x − 9 = 0 . 3. Las letras a, e, i, o, u. 4. Las personas que habitan la república mexicana. 5. Los estudiantes Sergio, Gustavo, Jesús y Alejandro. 6. Los estudiantes ausentes de la escuela. 7. Los países México, Estados Unidos y Canadá. 8.Las ciudades capitales del continente americano. 9. Los números naturales. 10. Los ríos de México. Notemos que los conjuntos de los ejemplos impares vienen definidos, o sea presentados, enumerando de hecho sus elementos, y que los conjuntos de los ejemplos pares se definen enunciando propiedades, o sea reglas, que deciden si un objeto particular es o no elemento de un conjunto.

Notación.Generalmente los conjuntos se denotan con letras mayúsculas: A, B, C,…,X, Y, Z.

y sus elementos con letras minúsculas: a, b, c,…,x, y, z. Al definir un conjunto por la enumeración de sus elementos, por ejemplo el conjunto “A”, consiste de los elementos 1, 5, 8 y 15. Se denota como: A = {1,5,8,15}

esta es la llamada Forma Tabular de un Conjuntos. Si se define un conjunto enunciando sus propiedadesque deben cumplir sus elementos, por ejemplo, “B” es el conjunto de todos los números pares, se emplea una letra, por lo general x, y o z, para representar un elemento cualquiera y se escribe:
B = {x x es un numero par}

lo cual se traduce como “B es el conjunto de los números x tales que x, sea par. Se dice que esta es la forma por Comprensión o Constructiva de un Conjunto. Nótese que la barra" " se lee “tales que”. Para practicar las notaciones dadas, se escriben de nuevo los ejemplos del 1 al 10, denotando estos conjuntos con las letras: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J. 1. A = {1, 2,3, 4} . 3. C = {a, e, i, o, u}

2. B = x x 2 + 8 x − 9 = 0 . 4. D = {y y es una persona que habita la republica mexicana} 5. E = {Sergio, Gustavo, Jesus, Alejandro}

{

}

6. F = { z z es unestudiante ausente de la escuela} 7. G = {Mexico, Estados Unidos, Canada} 9. I = {1, 2,3, 4,5, 6,...} 8. H = {x x es una capital y esta en el continente americano }

10. J = { y y es un rio de Mexico} Relación de pertenencia. Se utilizará la notación “ x ∈ S ” para indicar que “x es un elemento de S” o que “ x pertenece S”. Si x no pertenece a S, se escribe “ x ∉ S ”. Ejemplos. Supongamos que S es elconjunto de los primeros cuatro números naturales, es decir: S = {1, 2,3, 4} Luego podemos escribir: 1 ∈ S , 2 ∈ S , 3 ∈ S 5 ∉ S y 6 ∉ S , etc.
y 4 ∈ S . De la misma forma:

Igualdad de Conjuntos Se dice que los conjuntos A y B son iguales, si cada elemento de A es elemento de B y si cada elemento de B es también elemento de A, en cuyo

caso escribiremos A=B. Si uno de los conjuntos tienealgún elemento que no está en el otro, decimos que los conjuntos no son iguales y lo denotamos como A ≠ B. Ejemplos. 1. Considerando la definición el conjunto A = {2, 4,6,8} y el conjunto

B = {8, 4, 2, 6} son iguales, ya que cada elemento de A es elementos de B y cada elemento de B es también elemento de A. De esta forma se observa que el orden de los elementos en un conjunto no importa.

2. Si...