Teoria De Dualidad

TEORÍA DE DUALIDAD


Definición Nº 1: La forma canónica de un P.P.L. de maximización es cuando todas sus restricciones son menores e iguales.

Definición Nº 2: La forma canónica de un P.P.L. de minimización es cuando todas sus restricciones son mayores e iguales.

DUALIDAD.
Para cada problema lineal, llamado Primal, existe otro problema lineal asociado que llamaremos Dual.

Si el Primales:
Máx Z = CX
s.a.
AX( b
xi( 0

El Dual es:
Min Z = bTY
s.a.
AT Y(CT
yi( 0


PROPIEDADES DEL PRIMAL Y DEL DUAL.

1) Si el Primal es un problema de Maximización (Minimización), el Dual es un problema de Minimización (Maximización).


2) Los valores de los recursos del Primal son los valores de los coeficientes de la funciónobjetivo del Dual. Y los valores de los coeficientes de la función objetivo del Primal son los valores de los recursos del Dual.

3) La matriz de los coeficientes tecnológicos del Dual es la matriz transpuesta de los coeficientes tecnológicos del Primal. Y como (AT)T=A entonces el Dual(Dual)=Primal.

4) El número de restricciones del Primal es igual al número de variables de decisióndel Dual, es decir, por cada restricción del Primal existe una variable Dual asociada.

5) El número de variables de decisión del Primal es igual al número de restricciones del Dual, es decir, por cada variable del Primal existe una restricción asociada del Dual.

6) Si una restricción del Primal esta en la forma canónica del problema, la variable Dual asociada es no negativa yviceversa.

7) Si una restricción del Primal no esta en la forma canónica del problema, la variable Dual asociada es no positiva y viceversa.

8) Si una restricción del Prima es una igualdad, la variable Dual asociada es sin restricción de signo y viceversa.





TEOREMA FUNDAMENTAL DE DUALIDAD.


En un problema Primal y su Dual solo se cumple una de las siguientesproposiciones:


a) Ambos problemas tienen solución óptima finita y se cumple que el valor óptimo de la función objetivo del Primal es igual al valor óptimo de la función objetivo del Dual.


b) Uno de los problemas es No Acotado y el otro es No Factible.

c) Ambos son No Factible.

TEOREMA DEBIL DE LA HOLGURA COMPLEMENTARIA.


Si una restricción tiene holgura no nula en la soluciónóptima, entonces la variable dual asociada a esa restricción es nula y viceversa.
Si una restricción tiene holgura nula en la solución óptima, entonces la variable dual asociada a esa restricción no es nula y viceversa si no tiene solución degenerada.



INTERPRETACIÓN ECONOMICA DE LAS VARIABLES DEL DUAL.

Considérese el siguiente problema lineal y su dual:

|Si el Primal es:|El Dual es: |
|Máx Z=CX |Min Z=bTY |
|s.a. |s.a.|
|AX( b |AT Y(CT |
|xi( 0 |yi( 0 |

Si B es la base óptima para el problema primal y CB es el vector de valores de los coeficientes de lasvariables básicas en la función objetivo, se sabe entonces que:
Z*=CBB-1b=bTY* de lo cual se sigue que: [pic]CBB-1=Y*
Por lo tanto, (yi)* es la rapidez de cambio del valor objetivo óptimo con un incremento unitario en el i-ésimo valor del lado derecho de los recursos del primal.

Económicamente significa que cada incremento en una unidad de un recurso genera un incremento en el valor de la...