Teoria De Numeros

Páginas: 163 (40520 palabras) Publicado: 20 de julio de 2011
Number Theory for Mathematical Contests
David A. SANTOS dsantos@ccp.edu

August 13, 2005

REVISION

Contents
Preface 1 Preliminaries 1.1 Introduction . . . . . . 1.2 Well-Ordering . . . . . Practice . . . . . . . . . . . 1.3 Mathematical Induction Practice . . . . . . . . . . . 1.4 Fibonacci Numbers . . Practice . . . . . . . . . . . 1.5 Pigeonhole Principle . Practice . . . . . . . . .. . iii 5 1 1 1 3 3 7 9 11 6 13 14 17 17 18 19 20 21 23 26 26 30 7 31 32 33 33 8 34 34 38 39 41 41 9 45 Linear Diophantine Equations 5.1 Euclidean Algorithm . . . . Practice . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Linear Congruences . . . . . Practice . . . . . . . . . . . . . . 5.3 A theorem of Frobenius . . . Practice . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Chinese Remainder Theorem Practice . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 48 50 51 52 52 54 55 56 57 57 60 62 64 64 65 66 68 69 72 73 75 75 76 78 78 80 81 83 84 84 86 87 88 89 91 93

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2 Divisibility 2.1 Divisibility . . . . . . . . Practice . . . . . . . . . . . . . 2.2 Division Algorithm . . . . Practice . . . . . . . . . . . . . 2.3 Some Algebraic Identities . Practice . . . . . . . . . . . . . 3 Congruences. Zn 3.1 Congruences . . . Practice . . . . . . . .. 3.2 Divisibility Tests . Practice . . . . . . . . . 3.3 Complete Residues Practice . . . . . . . . .

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Number-Theoretic Functions 6.1 Greatest Integer Function . . . . . . Practice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 De Polignac’s Formula . .. . . . . Practice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Complementary Sequences . . . . . Practice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Arithmetic Functions . . . . . . . . Practice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Euler’s Function. Reduced Residues Practice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Multiplication in Zn . . . . . . . . . Practice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7Möbius Function . . . . . . . . . . Practice . . . . . . . . . . . . . . . . . . More on Congruences 7.1 Theorems of Fermat and Wilson Practice . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Euler’s Theorem . . . . . . . . . Practice . . . . . . . . . . . . . . . . Scales of Notation 8.1 The Decimal Scale . . Practice . . . . . . . . . . . 8.2 Non-decimal Scales . . Practice . . . . . . . . . . . 8.3 Atheorem of Kummer

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4 Unique Factorisation 4.1 GCD and LCM . . . . . . . . . . . Practice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Primes . . . . . . . . . . . . . . . . Practice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Fundamental Theorem of Arithmetic Practice . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Miscellaneous Problems Practice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Preface

These notes started in the summer of 1993 when I was teaching Number Theory at the Center for Talented Youth Summer Program at the Johns...
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