Teoria de sistemas

Grado en Ingeniería Mecánica
Teoría de Sistemas

PROBLEMAS PROPUESTOS. TEMAS 7 A 9

SOLUCIONES

Muestreo y reconstrucción de señales.
Modelado de sistemas muestreados.
Sistemas muestreados con retrasos.

PROBLEMA 1. Transformada de Fourier
Según se vio en el tema 7, la transformada de Fourier de la secuencia discreta obtenida al
muestrear una señal continua x(t) usando un periodo Tviene dada por la expresión siguiente
(tema 7, pág. 13):
r=+∞
2πr
1
X ω+
X (ω) =
T
r=−∞ T
donde X(ω) es la transformada de Fourier de la señal continua x(t). Gráficamente, el comportamiento del muestreador en el dominio de Fourier puede verse en la página 15 del tema
7. En esta representación se observa que |X (ω)| es una repetición cada 2π/T de |X(ω)|,
con la amplitud multiplicada por1/T . Por tanto, el módulo de la transformada de Fourier
pedida en el problema puede representarse según la figura 1.

Figura 1: Transformadas de Fourier de la secuencia {xk } del problema 1

1

PROBLEMA 2. Sistemas muestreados. Combinaciones de muestreador y bloqueador
Apartado 1. Las seis opciones posibles para conectar los sistemas se muestran en la figura
2, donde también se indica sicada combinación funcionaría en el sentido de una transmisión
de información de la entrada a la salida (SÍ/NO).

Figura 2: Combinaciones posibles bloqueador/proceso continuo/muestreador para el problema 2
La segunda combinación no es posible ya que la entrada al sistema continuo G(s) sería
una secuencia (salida del muestreador). La tercera combinación tampoco tiene sentido ya
que el bloqueadorB(s) tiene como entrada una señal continua. En la sexta combinación se
tendría de nuevo una señal discreta como entrada al sistema continuo G(s), al igual que en
la primera.
Apartado 2. Analicemos cada caso en los sistemas seleccionados en los que sí tiene sentido
la transmisión de información:
Caso 1: La entrada es una secuencia {xk }, y la salida también es otra secuencia {yk }.
Existeuna función de transferencia en Z que viene dada por:
1
BG(z) =
residuos B(p)G(p)
1 − epT z −1
polos de B(p)G(p)
2

Caso 4: La entrada es una señal continua x(t), y la salida es otra señal continua y2 (t). No
existe función de transferencia, pues se muestrea una señal continua (que no proviene
de la reconstrucción de otra señal discreta). Sólo si se cumplen las condiciones del
teorema demuestreo (no es posible sin restringir las entradas), podría existir función
de transferencia. Es decir, para aquellas señales que cumplan el teorema de muestreo
sí existe función de transferencia, pero no para cualquier señal.
Caso 5: La entrada es una señal continua x(t), y la salida es otra señal continua y(t).
No existe función de transferencia por las mismas razones que en el casoanterior.

PROBLEMA 3. Sistema discreto equivalente
Se calcula el equivalente discreto al conjunto bloqueador/sistema continuo/muestreador
z
y se multiplica por la función de transferencia z−1 , que está en serie con los elementos
anteriores:
Y (z)
z
1
1 p+1
=
(1 − z −1 )
·
·
residuos
U (z)
z−1
p p + 2 1 − epT z −1
polos
operando se llega a ...
Y (z)
z 2 − 0,567z
=
U (z)
(z −0,135)(z − 1)

PROBLEMA 4. Sistema muestreado realimentado sin retardo y con retardo
Apartado 1. La función de transferencia del sistema realimentado será:
M (z) =

K · BG(z)
1 + K · BGH(z)

Como H(s) = 1, entonces BG(z) = BGH(z).
BG(z) se calcula según la expresión:
BG(z) = (1 − z −1 )

residuos
p=0
p=−1

1
1
1
·
·
p p + 1 1 − epT z −1

operando se llega a ...
BG(z) =0,0952
z − 0,9048

Así, la función de transferencia pedida es:
M (z) =

0,29
z − 0,62

Apartado 2. En este caso BGH(z) varía:
BGH(z) = (1 − z −1 )

residuos
p=0
p=−1
p=−2

3

1
1
1
1
·
·
·
p p + 1 p + 2 1 − epT z −1

operando se llega a ...
BGH(z) =
De esta forma:
M (z) =

0,0045z + 0,0041
(z − 0,905)(z − 0,819)

0,285z − 0,233
K · BG(z)
= 2
1 + K · BGH(z)...