Teoria del mundo

UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

´ ALGEBRA TRABAJO 1

1. Consid´rese el espacio vectorial R3 [x] = {p(x) : p(x) = a + bx + cx2 + dx3 ; a, b, c, d ∈ R} (espaciovectorial e de los polinomios de grado menor o igual que 3) con base B = {v1 , v2 , v3 , v4 } donde v1 = x3 , v2 = x2 , v3 = x y v4 = 1. Sean, para cada m ∈ R, los subespacios: W1 = {p(x) ∈ R3 [x] : p(1)= 0, p(−1) = 0} W2 =< m + mx + x2 + mx3 , 1 + mx + mx2 + mx3 , 1 + 1x + mx2 − x3 > Se pide, en funci´n del valor de m: o o • Obtener una base y la dimensi´n de W1 , W2 . • Calcular la suma W1 + W2 yla intersecci´n W1 ∩ W2 . Razonar si la suma es directa. o • Discutir si el polinomio p(x) con vector de coordenadas (2, −5, −2, n)B , n ∈ R, pertenece a W1 . ıcitas de un suplementario de W1 en labase B = {1, 1−x, x2 −x3 , 2x2 + • Calcular unas ecuaciones impl´ 3 x }. • Obtener la matriz de cambio de base de B a B y tambi´n la matriz de cambio de base de B a B. e Hallar las coordenadas delpolinomio 1 + 2x2 + x3 en la base B y tambi´n en la base B . Explicar la e relaci´n entre las matrices y coordenadas anteriores. o o 2. Sea f : V −→ V la aplicaci´n lineal entre los espacios vectoriales Vy V , que respecto de sus correspondientes bases B1 = {v1 , v2 , v3 , v4 } de V y B1 = {v1 , v2 , v3 } de V tiene como matriz asociada:   a 0 a a  a 2a 3a  a a 0 a 2a − 1 donde a ∈ R. En estecontexto, se pide: (a) Obtener una base de Ker(f ) y otra de Im(f ) en funci´n de los posibles valores del par´metro a. o a (b) Discutir si f es un monomorfismo o un epimorfismo en funci´n de los posiblesvalores del par´metro o a a ¿Podr´ ser un isomorfismo en alg´n caso? ıa u (c) Obtener la matriz asociada respecto de las bases B2 = {v1 − v2 , v1 , v4 , v3 + v4 } de V y B2 = {2v1 − v2 , v2 + v3 , −v3}. (d) Calcular la imagen rec´ ıproca del conjunto {(b, 0, 1)} cuando a = 1, seg´n los posibles valores de u b ∈ R. 3. Real´ ıcese un estudio sobre la utilidad de las aplicaciones lineales en las...