TEORIA Y PROBLEMAS DE FACTORIZACION



FACTORIZACIÓN



Factorizar un polinomio consiste en escribirlo como un producto de polinomios de inferior grado. Todo polinomio mediante la factorización puede expresarse en productos de polinomios de primer y segundo grado.

Cuando realizamos las multiplicaciones :

1. 2x(x2 – 3x + 2) = 2x3 – 6x2 + 4x
2. (x + 7)(x + 5) = x2 + 12x + 35

entonces vemos que las expresiones dela izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir , la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.

La factorización es de extrema importancia por sus aplicaciones en las matemáticas.

-Simplificación de expresiones algebraicas.
-Resolución de ecuaciones e inecuaciones.
-Estudio del signo de un polinomio y de una fracciónalgebraica.

Existen varios procedimientos para llevar a cabo la factorización.

1. FACTOR COMUN:

Factor común: es el factor que está presente en cada término del polinomio :

Ejemplo N 1: ¿ cuál es el factor común en 12x + 18y - 24z ?

Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6·2x + 6·3y - 6· 4z = 6(2x + 3y - 4z )

Ejemplo N 2 : ¿ Cuál es el factor común en : 5a2 - 15ab - 10 ac
El factor comúnentre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a, por lo tanto
5a2 - 15ab - 10 ac = 5a·a - 5a·3b - 5a · 2c = 5a(a - 3b - 2c )

Ejemplo N 3 : ¿ Cuál es el factor común en 6x2y - 30xy2 + 12x2y2
El factor común es “ 6xy “ porque
6x2y - 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x - 5y + 2xy )

Realiza tú los siguientes ejercicios :

EJERCICIOS. Halla el factor común de los siguientesejercicios :

1. 6x - 12 =
2. 4x - 8y =
3. 24a - 12ab =
4. 10x - 15x2 =
5. 14m2n + 7mn =
6. 4m2 -20 am =
7. 8a3 - 6a2 =
8. ax + bx + cx =
9. b4-b3 =
10. 4a3bx - 4bx =
11. 14a - 21b + 35 =
12. 3ab + 6ac - 9ad =
13. 20x - 12xy + 4xz =
14. 6x4 - 30x3 + 2x2 =
15. 10x2y - 15xy2 + 25xy =
16. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =
17. 2x2 + 6x + 8x3 - 12x4 =
18.10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =
19. m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =
20.
21.
22.






2. FACTOR COMUN POLINOMIO:

Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión :

EJEMPLO N 1.
Factoriza x(a + b ) + y( a + b ) =
Existe un factor común que es (a + b ) = x(a + b ) + y( a + b ) =
= ( a + b)( x + y )

EJEMPLO N 2.
Factoriza 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) =
= 2a(m - 2n) - b (m - 2n )
= (m - 2n )( 2a - b )

EJERCICIOS

23. a(x + 1) + b ( x + 1 ) =
24. m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =
25. x2( p + q ) + y2( p + q ) =
26. ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =
27. ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) =
28. a(2 + x ) -( 2 + x ) =
29. (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) =
30. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =
31. (a( a + b ) - b ( a + b ) =
32. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =

3. FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTO

Se trata de extraer un doble factor común.

EJEMPLO N1.
Factoriza ap + bp + aq + bq
Se extrae factor común “p” de los dos primeros términos y “q” de los dosúltimos
p(a + b ) + q( a + b )
Se saca factor común polinomio
( a + b ) ( p + q )

EJERCICIOS :
33. a2 + ab + ax + bx =
34. ab + 3a + 2b + 6 =
35. ab - 2a - 5b + 10 =
36. 2ab + 2a - b - 1 =
37. am - bm + an - bn =
38. 3x3 - 9ax2 - x + 3a =
39. 3x2 - 3bx + xy - by =
40. 6ab + 4a - 15b - 10 =
41. 3a - b2 + 2b2x - 6ax =
42. a3 + a2 + a + 1 =
43. ac - a - bc+ b + c2 - c =

44. 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =
45. ax - ay - bx + by - cx + cy =
46. 3am - 8bp - 2bm + 12 ap =
47. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =
48.
49.


4. FACTORIZACION DE UN POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO. ax2+ bx + c

Se realiza resolviendo la ecuación de segundo grado correspondiente. Si las soluciones son A y B puede escribirse ax2+ bx + c = a (x-A)....