Teorias De Conjuntos y Probabilidades

*TEORIAS DE CONJUNTOS Y PROBABILIDADES*

1) CONJUNTOS: son un concepto básico, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, comolos números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.
2) TIPOS DE CONJUNTOS:

>CONJUNTO VACIÓ O NULO: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por o { }.
A = {x2 + 1 = 0 x R}.
El conjunto A, es un conjunto vacío porque no hay ningún número real que satisfaga a x2+1 = 0.

>CONJUNTO UNIVERSAL: Esel conjunto de todos los elementos considerados en una población o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado por U.

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

>IGUALDAD DE CONJUNTOS
Considerando el conjunto A y el conjunto B, si ambos tienen los mismos elementos, es decir, sicada elemento que pertenece a A también pertenece a B y si cada elemento que pertenecea B
pertenece también a A. A = B.

>SUBCONJUNTO
Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Representado por el símbolo A B o B A.

>SUBCONJUNTOS PROPIOS
Se dice que es un subconjunto propio de A sí todos los elementos de un conjunto B se encuentran
incluidos en él A, denotado por A B o B A.

|3)Operaciones con tres conjuntos |
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En un diagrama de Venn, las posiciones relativas de tres conjuntos pueden ser muy variadas. A modo de ejemplo, doce de ellas se presentan en el siguiente cuadro.  1 | | | 2 |
3 | | | 4 |
5 | | | 6 |
7 | | | 8 |
9 | | | 10 |
11 | | | 12 |
La últimadisposición es la más general porque abarca todos los casos posibles (da lugar a la mayor cantidad de colores):
• elementos que no pertenecen a ningún conjunto, excepto al universal (región gris); 
• elementos que pertenecen a un solo conjunto (regiones roja, amarilla y azul);
• elementos que pertenecen a dos conjuntos (regiones anaranjada, verde y violeta);
• elementos que pertenecen a los tresconjuntos (región marrón).Es decir, la disposición más general es la que define ocho regiones. En ninguna otra se llega a esta cantidad. [La disposición 5, por ejemplo, tiene siete. Si los elementos de tres conjuntos pueden ser ubicados en el diagrama 5, también podrán ser ubicados en el diagrama 12: una región (la anaranjada) quedará vacía.]. |
Obsérvese que la cantidad de regiones de cadaclase se puede calcular aplicando la fórmula siguiente: ,donde ntc es el número total de conjuntos y ncs es el número de conjuntos que se solapan (superponen) en las regiones en cuestión. Por ejemplo, en un diagrama de tres conjuntos ntc = 3, la cantidad de regiones donde no hay conjuntos (ncs = 0) es 3!/[0! (3-0)!] = 1 (gris); la cantidad de regiones donde hay un solo conjunto (ncs = 1) es 3!/[1!(3-1)!] = 3 (roja, amarilla y azul); la cantidad de regiones donde se solapan dos conjuntos (ncs = 2) es 3!/[2! (3-2)!] = 3 (anaranjada, verde y violeta); y la cantidad de regiones donde se solapan los tres conjuntos (ncs = 2) es 3!/(3-3)! = 1 (marrón). El número total de regiones (colores) se puede obtener entonces aplicando la siguiente fórmula:.En otros términos, la cantidad de regiones surge dela construcción conocida como "Triángulo de Tartaglia". Los números de cada fila se obtienen sumando los dos adyacentes de la columna anterior. cantidad de
conjuntos | cantidad de regiones
Triángulo de Tartaglia | total de
regiones |
0 |
1 |
2 |
3 |
| | | | 1 | | | |
| | 1 | | 1 | | |
| 1 | | 2 | | 1 | |
1 | | 3 | | 3 | | 1 |
| 1 |
2 |
4 |
8 |
|...