Teorias de falla

ESTABILIDAD II

CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLAS O DE COMPARACIÓN

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TEORIAS DE FALLAS O DE COMPARACIÓN
4.1 CONCEPTOS COMPLEMENTARIOS SOBRE ENERGIA ESPECIFICA DE
DEFORMACION

4.1.1 Energía total de deformación
La energía específica de deformación en un punto de un sólido sujeto a un estado de tensión cualquiera, es una función tanto de las tensiones actuantes como de lasdeformaciones. En los capítulos anteriores ya hemos analizado el valor de la energía de deformación por unidad de volumen para algunos casos simples: 1 Esfuerzo axial : u = σ ε 2 1 Corte puro : u = τ γ 2 Las expresiones anteriores surgen de la consideración del comportamiento del material como elástico lineal, es decir, que vale la Ley de Hooke. En el caso más general de un estado triple tendremos queconsiderar la energía específica de deformación correspondiente a cada tensión. u= 1 1 1 1 1 1 σ x ε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ xz γ xz + τ yz γ yz 2 2 2 2 2 2 1 1  1 1  σ x  σ x − µ (σ y + σ z )  + σ y  σ y − µ(σ x + σ z )  + 2 E  2 E  (4.1) τ xy 1 τ yz τ 1 1 1  1 + σ z  σ z − µ (σ x + σ y )  + τ xy + τ xz xz + τ yz 2 E G 2 G 2 G  2

u=

[

]

[

]

[

]

u=1 1 2 σ 2 + σ 2 + σ 2 − 2µ (σ x σ y + σ x σ z + σ y σ z ) + τ xy + τ 2 + τ 2 x y z xz yz 2E 2G

[( [

)

]

[

]

En el caso particular de un estado doble, la expresión anterior se reduce a la siguiente: u= 1 2 1 2 σ x + σ 2 − 2µ σ x σ y + τ xy y 2E 2G

]

(4.2)

y en el estado lineal

u=

1 2 σx 2E

(4.3)

4.1.2 Relación entre las constantes elásticas
4.1.2.1Relación entre E y G Si en un cuerpo sometido a tensiones consideramos un elemento diferencial en una determinada posición, la energía de deformación por unidad de volumen correspondiente al mismo deberá mantenerse se la suponemos rotado. Si tenemos un prisma elemental sometido a corte puro, sabemos que a 45º de esa posición nos encontraremos en el elemento sometido a tensiones de tracción y compresión,las que en valor absoluto

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serán iguales entre sí e iguales e la tensión tangencial. Si evaluamos la energía de deformación por unidad de volumen en ambos casos obtendremos: 1 τ2 2G 1 1 2 u= σ1 + σ 2 − 2 µ σ1 σ 2 = 2τ 2 + 2µτ 2 2 2E 2E 1+ µ 2 1 2 1+ µ 1 τ = τ → = u= 2G E 2G E E G= 2(1 + µ ) u=

σ1

[

]

[

]
σ2 σ1 = σ2 = τ (4.4) Fig. 4.1

De esta manera hemos encontrado la relación existente entre E, G, y µ, relación de la que ya habíamos hablado anteriormente. 4.1.2.2 Relación entre módulos E y K σz. Consideramos un cubo inicialmente de lados unitarios, sometido a tensiones normales σx, σy,

Fig. 4.2

La longitud final de cada lado del cubo será: lx = (1 + εx) ly = (1 + εy) lz = (1 + εz)Volumen final Vf = (1 + εx) (1 + εy) (1 + εz)

Por Ser εi valores pequeños, se desprecian los términos de productos de 2º y 3º orden: Vf = 1 + εx + εy + εz Calculando la deformación específica volumétrica Vf − Vi = εx + εy + εz Vi Reemplazando los εi en función de las tensiones normales: εv = εv = 1 (σ x + σ y + σ z )(1 − 2µ ) E

[

]

Para el caso particular en que σx = σy = σz = σp(Estado de tensión hidrostática) εv = 3 σp (1 − 2µ ) = ctte × σp E

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Anteriormente llamamos K a la constante que vincula a la tensión con la deformación específica volumétrica. E módulo de elasticidad volumétrico 3(1 − 2µ ) Como ε ≠ 0 , el valor entre paréntesis: (1 – 2µ) > 0 , o sea, µ < 0,5 σp = K ⋅ ε v → K =

4.1.3 Energíapor variación de volumen y por variación de forma
La energía específica de deformación puede considerarse como respuesta de dos partes: u = uV + uF (4.5)

uv = energía necesaria para producir el cambio de volumen del elemento diferencial infinitésimo considerado. uF = energía que origina el cambio de forma o distorsión del elemento, también llamada “energía de distorsión”. Ya hemos indicado...