Teorias

Capítulo 4. Las ciencias formales.
4.1. La matemática: constructos formales y realidad. Una demostración es una prueba lógica, no una prueba empírica ni afirma ni niega nada acerca de la realidad. En lógica, la verdad de las proposiciones no se demuestra mediante ningún método experimental, sino mediante un argumento cuyas premisas son los axiomas o postulados (indemostrables) y la conclusión esla conjunción de teoremas (demostrables) deducidos.

>Popper dice que la aplicabilidad de las ciencias formales en la realidad es insostenible (sólo se pueden usar números naturales), porque la aplicación no es real sino aparente.

>La metodología en Aristóteles, destaca tres supuestos fundamentales:
a. Supuesto de deducibilidad. La ciencia demostrativa debe partir de ciertosprincipios indefinibles que servirán para definir otro término, y también debe partir de axiomas para demostrar todas las verdades de esa ciencia mediante el empleo de reglas. Es decir, que todo teorema debe deducirse de los axiomas.
b. Supuesto de evidencia. Exige que los axiomas puedan ser aceptados como verdaderos sin demostración. Deben ser principios simples no cuestionables, autoevidentes.
c.Supuesto de realidad. Ciencia es siempre ciencia de la realidad. Los axiomas deben tener contenido empírico.

× Axioma: proposición dada, de carácter general. No se cuestiona, es el punto de partida y deben ser evidentes.
× Postulado: punto de partida específico de cada ciencia. Tanto como los axiomas, son considerados verdades evidentes que no necesitan demostración.
× Teorema:conjunto de proposiciones deducidas de axiomas.
× Demostración: conjunto finito de enunciados donde cada uno de ellos es un axioma o una consecuencia lógica de otros enunciados

>La lógica puede ser formal sin haber sido todavía formalizada. Está formalizada cuando se enumeran los signos no definidos, se especifica las condiciones de la fórmula en el sistema, se enumeran los axiomas como premisas ylas reglas de inferencia consideradas como aceptables.

4.2. Sistemas axiomáticos. No cualquier razonamiento es un sistema axiomático, es un conjunto con cierto orden.
Sus componentes son:
1. Términos primitivos. No se definen pero sirven para definir otros términos.
2. Definiciones.
3. Axiomas.
4. Reglas.
5. Teoremas. Último paso de una demostración.

>Pasos para el sistemaaxiomático:
1) Lista de todos los términos sin definición.
2) Establecer una relación de todos los axiomas, preferentemente se parte del menor número.
3) Desarrollar el sistema, deducir las consecuencias lógicas mediante reglas de inferencia y obtener teoremas del sistema.

4.2. Propiedades de los sistemas axiomáticos. El sistema de axiomas se elige por conveniencia y debe ser:
a)Consistente: no se puede derivar una fórmula y su negación. No encontrar un caso de inconsistencia en el sistema axiomático no significa que el sistema sea consistente. Es decir, el axioma no es contradictorio puesto que debe tener coherencia interna.
b) Independiente: los axiomas deben ser independientes entre sí, no deben derivarse de otros. Si se intenta derivarlo y no se logra nosignifica que sea independiente.
c) Completo: permite derivar de los axiomas todas las leyes del sistema. Una ley no derivable hace inconsistente al sistema.

>Tarski establece que es consistente –“falta de contradicción”- una disciplina deductiva y al sistema de axiomas cuando no hay dos enunciados que se contradigan mutuamente (o de dos enunciados contradictorios al menos uno no puedademostrarse); y es completa cuando de dos proposiciones al menos una puede demostrarse.

4.3. Interpretación y modelo de los sistemas axiomáticos. El método axiomático es un instrumento de abstracción que puede ser realizado por máquinas. Se interpreta un concepto primitivo cuando se le atribuye un sentido, y se obtiene un modelo de un sistema axiomático cada vez que cada uno de esos conceptos...