Teroremas de gödel

COMPLETITUD: “En cualquier formalización consistente de las matemáticas que sea lo bastante fuerte para definir el concepto de números naturales, se puede construir una afirmación que ni se puede demostrar ni se puede refutar dentro de ese sistema.”
Kurt Gödel

INCOMPLETITUD "No todo puede demostrarse ni rebatirse"

Kurt Gödel(1906 – 1978)

En 1929, tras 6 años de estudios Kurt se doctoró en Matemáticas de la mano de Hans Hahn. En este momento comienzan gran parte de los trabajos de Gödel, sin menospreciar los ya realizados, algunos de ellos publicados durante su época universitaria, durante sus posteriores trabajos llegó a conocer a Albert Einstein exiliado, con el que mantuvouna gran amistad, incluso colaborando con él en su Teoría de la Relatividad.

CORRIENTE A LA QUE PERTENECIÓ:

LOGICISMO: Esta corriente reconoce la existencia de dos Lógicas que se excluyen mutuamente: la deductiva y la inductiva. La deductiva busca la coherencia de las ideas entre sí; parte de premisas generales para llegar a conclusiones específicas.

La inductiva procura lacoherencia de las ideas con el mundo real; parte de observaciones específicas para llegar a conclusiones generales, siempre provisorias, que va refinando a través de experiencias y contrastaciones empíricas.

Una de las tareas fundamentales del Logicismo es la “logificación” de las matemáticas, es decir, la reducción de los conceptos matemáticos a los conceptos lógicos. El primer paso fue lareducción o logificación del concepto de número.

TEOREMA DE COMPLETITUD DE GÖDEL

Con objeto de dar una idea, siquiera superficial, de la forma en que Gödel logró demostrar su famoso teorema, comenzaremos estableciendo la distinción básica que existe entre una teoría matemática formal y su metateoría.
Mientras una teoría -por ejemplo, la geometría Euclídea, la aritmética, elanálisis- tiene por objeto el estudio de las propiedades de los objetos que pretende describir -puntos, rectas, planos... en la geometría, los números naturales en la aritmética, los reales en el análisis-, la correspondiente metateoría tiene como objeto el estudio de las propiedades de la teoría en cuestión. Así, por ejemplo, la metaaritmética no versará sobre los números, sino sobre las propiedades de lateoría de números. Los teoremas de la metaaritmética serán, por tanto, proposiciones relativas a la consistencia, axiomatizabilidad, decibilidad, existencia de modelos, etcétera.
El teorema de completitud de Gödel indica que toda teoría de primer orden consistente es completa con respecto al conjunto consistente máximo de las fórmulas que se generan por medio del algoritmo de búsqueda dedemostración.

ENUNCIADO DEL TEOREMA

Este teorema fue propuesto y demostrado por Kurt Gödel en el año 1931. Está compuesto de seis teoremas:

Teorema 1, Gödel establece que cualquier teoría consistente que se base en las matemáticas es incompleta, es decir, contiene proposiciones tales que ni la proposición en sí ni su negación se pueden demostrar. Expresa lo que hoy denominamoscompletitud débil: “toda fórmula válida de la lógica de primer orden – cálculo funcional restringido en el original – es demostrable.”
La palabra "demostrar" significa que existe una deducción formal de la fórmula. La deducción consiste en una lista finita de pasos en los que cada paso o bien invoca a un axioma o es obtenido a partir de pasos previos mediante una básica regla de inferencia. Apartir de dicha deducción, es posible verificar si cada uno de los pasos es correcto mediante un algoritmo (por ejemplo mediante una computadora, o a mano).
Una fórmula es lógicamente válida si es verdadera en todo modelo para el lenguaje utilizado en la fórmula. Para expresar de manera formal el teorema de completitud de Gödel, se debe definir el significado de la palabra modelo en este...