Thales

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TEOREMA DE THALES

Esta importantísima propiedad se atribuye a Thales de Mileto, filósofo y matemático griego que descolló en el siglo IV A. C.
Se cuenta ( ¿a quien lo habrá contado? ) que Thales dejó “boquiabierta” a los egipcios cuando logró calcular la altura de una de sus pirámides. Para ello, a ciertahora, midió la longitud de la sombra proyectada por la pirámide y la longitud de la sombra proyectada por un bastón de su propiedad cuya altura conocía.
Veremos luego que lo que hizo no es otra cosa que una aplicación de la propiedad que hoy conocemos como Teorema de Thales.
Intentaremos una demostración de este teorema, aunque es conveniente aclarar que una demostración rigurosa de estapropiedad escapa a los alcances de este curso.
Consideremos tres rectas paralelas a, b y c y dos rectas secantes s y l, tales que:

s[pic]a = [pic] , s[pic]b = [pic] , s[pic]c = [pic] , y que :
l[pic]a = [pic] , l[pic]b = [pic] , l[pic]c = [pic]
Queda definida entonces una proyección paralela de s sobre l según la dirección de las tres rectas paralelas a ,b y c que como yasabemos es una función biyectiva.
Esta proyección es para los segmentos de s, la siguiente:
Proy l,a ([pic]) = [pic] , y Proy l,a ([pic]) = [pic]
También conserva el orden, pues si consideramos un punto M [pic] , no coincidente ni con A ni con B y su correspondiente M´ mediante la proyección paralela de dirección a, resulta que M´ [pic], y no coincidirá con A´ ni con B´. De lo contrario la rectaque proyecta a M sobre l “cortaría” a a o a b, lo que es un absurdo ya que es una proyección paralela de dirección a y b es paralela a a . Luego la proyección del segmento [pic] es [pic] : Proy l,a ([pic]) = [pic]

Por otra parte si M [pic] y [pic] y por ser M´ [pic] es [pic] , desigualdades que quedan corroboradas observando la figura.
La correspondencia del orden la podemosescribir así :
[pic] Proy l,a ([pic]) < Proy l,a ([pic])
O lo que es lo mismo : si [pic] < [pic] [pic] [pic] < [pic]
Pero si [pic] < [pic] ; existe un número real [pic] no nulo tal que al multiplicar a [pic] por [pic] da por resultado [pic]. Simbólicamente :
[pic]

• Por ejemplo:

• Si en la recta numérica la medida de [pic] es equivalente a la longitud del segmento que va de 0 a[pic] y no coincide con la posición de 1, es : [pic]

Como es proyección paralela se conserva la congruencia:
[pic]Proy l,a ([pic]) = Proy l,a ([pic]) con [pic]
ó : [pic][pic] con [pic]
Y por propiedad uniforme de la división en [pic]
De la misma forma, si [pic] es mayor, igual o menor que [pic] :
[pic]
y como la proyección paralela conserva la congruencia :[pic]Proy l,a ([pic]) = Proy l,a ([pic]) con [pic]
ó : [pic][pic] con [pic]

y aplicando la propiedad uniforme de la división en [pic]
Si observamos la igualdades 1 y 2, “vemos” que por propiedad transitiva de la relación de igualdad resulta :
[pic] , y si permutamos medios en la proporción obtenida : [pic] , que es la propiedad conocida cono Teorema de Thales y que podemos enunciarasí :

y que para la figura de la demostración anterior se puede simbolizar así: [pic]
Esta propiedad se puede generalizar para más de dos segmentos incluidos en s y sus correspondientes proyecciones paralelas sobre l.

Por ejemplo, en la figura siguiente la propiedad se puede simbolizar así:
Propiedad recíproca del teorema de Thales

Si tres rectas son intersectadas por dos transversales aellas y las medidas de los segmentos que esas rectas determinan sobre una transversal resultan proporcionales a las correspondientes medidas de los segmentos que quedan determinados sobre la otra transversal, entonces las rectas son paralelas.
Simbólicamente:

Corolarios del teorema de Thales:

Se conocen con ese nombre a consecuencias del Teorema de Thales aplicados a un triángulo....