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Relación de problemas resueltos de exámenes de la asignatura Matemáticas III para Economistas de la Licenciatura de Economía

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© Servicio Editorial de la Universidad del País Vasco Euskal Herriko Unibertsitateko Argitalpen Zerbitzua ISBN: 978-84-9860-440-5

José Miguel Echarri Amaia Sarachu José Manuel Zarzuelo

ARGITALPEN ZERBITZUA SERVICIO EDITORIAL

www.argitalpenak.ehu.es
ISBN:978-84-9860-440-5

Febrero 2001

FEBRERO 2001

1045

³  B  k ˜ t ˜ e  dt ³ 100  k ˜ t ˜ e  dt
10  rt 2 10  ln10 t 2 100 0 0 0

100t 

50k  ln10 t 2 º e 100 » ln10 ¼0

10

1000 

50k 50k 1 45k 1  e Ln10  1000  ln10 §1  10 · 1000  ln10 . ¨ ¸ ln10 © ¹

1.La tasa de beneficios generados por una pequeña inversión a corto plazo viene dada por la expresión B0  k ˜ t˜ e
 rt 2

Se deduce
1000  45k 1045 Ÿ 45k ln10 45ln10 Ÿ k ln10.

euros/día (donde t denota el tiempo transcurrido en

días). Calcúlese la constante k sabiendo que: (i) la tasa de beneficio en el instante inicial (t
0 ) es de 100 euros/día; (ii) el valor de la constante r es

ln10 ; y (iii) al cabo de 10 100

2.Sean D

días el beneficio total acumulado es de 1045 euros. (Se ruegano utilizar calculadora. Además de completamente innecesaria, es preferible arrastrar en los cálculos la expresión “ ln10 ”.) Solución: Se designa por B  t  al beneficio acumulado cuando ha transcurrido el tiempo t . Calcúlese, si existe, Entonces
B t 

^( x, y)  \

2

: xy d 1, 2x  y t 1, y t 0` y la función
­ °sen x ° ® ° 1 ° x ¯ 1 2. 1 x! 2 xd

f ( x, y )

³³

f.

D

³B ' t  dt ³  B  k ˜ t ˜ e  dt .
t t  rt 2 0 0 0

Solución:
0 ) es de 100 eu-

En (i) se dice que la tasa de beneficio en el instante inicial ( t ros/día, luego
Bc  0  B0 100 .

De (ii) se tiene que
r ln10 . 100

En (iii) nos aseguran que el beneficio acumulado en los 10 primeros días es de
1045 euros, es decir

B 10 

³

10

B '(t )dt 1045.

0

Entonces Elrecinto D se representa en la figura y es regular y no acotado. Si llamamos
-1-2-

Febrero 2001

Febrero 2001

D1
Dr

^( x, y)  \

2

: x d 1/ 2, 2x  y t 1, y t 0` ,
: xy d 1, 1/ 2 d x d r , y t 0` .

3.­ x 2 cos y  y cos z  z cos x  S  t Dado el sistema: ® 2 2 2 2 ¯ x  y  az  xy  aS  t 0 0

^( x, y)  \

2

Entonces la función f es continua cuando se restringe a D1 ya Dr . Entonces

³³
— Cálculo de

f

D

³³

f  lim
r of

D1

³³

donde a es un parámetro tal que a z 0 .
f.

Dr

i) Utilizando el Teorema de la función implícita, ¿puede asegurarse si el sistema anterior define implícitamente a las variables y y z como funciones de x y t en torno al punto  x, y, z , t 

³³
1 2

f . Se puede calcular de dos formas
2 x 1

D10, 0, S , 0  ?

³³

f

D1

³³
1 2

sen x dy dx

o bien

0

³³
2

f

D1

³³
0
1 2 y 1 2

2

2

y 1 2

sen x dx dy .

ii) En caso afirmativo, utilizando el Teorema de la función inversa, ¿se puede asegurar que dicha función implícita es localmente invertible en torno al punto  0, 0  ? Solución: i) Aplicamos el Teorema de la función implícita para comprobarla existencia de una función implícita

La calculamos de la segunda forma

³³

f

D1

³³
0 2

2

1 2 y 1 2

sen x dx dy §1·

³  cos x@
0 2

dy

³ ¨©  cos ¨© 2 ¸¹  cos ¨©
0

§

§ y 1 · · ¸ dy 2 ¹¸ ¹

M  x, t 

M  x , t  , M  x , t    y , z 
1 2

en

torno

al punto

§1· § y  1 ·º  y cos ¨ ¸  2sen ¨ ¸» ©2¹ © 2 ¹¼ 0

 x, y, z, t   0, 0,S , 0  . Denotamos
F 1  x, y , z , t  F 2  x, y , z , t  x 2 cos y  y cos z  z cos x  S  t , x 2  y 2  az 2  xy  aS 2  t.

§1· §1· § 1· 2 cos ¨ ¸  2sen ¨ ¸  2sen ¨  ¸ ©2¹ ©2¹ © 2¹ §1· §1· 4sen ¨ ¸  2 cos ¨ ¸ . ©2¹ ©2¹ — Cálculo de lim
r of

Las condiciones del Teorema de la función implícita son a) F 1 , F 2   1  B  0, 0, S , 0   puesto que están formadas por sumas...