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´ Mecanica

de

´ Solidos

y
AA 06/07

Sistemas

Estructurales
23-2-2007 Ejemplo

Departamento de Estructuras de Edificaci´n o Escuela T´cnica Superior de de Arquitectura de Madrid eDeterminaci´n gr´fica de centros de gravedad o a
Los centros de gravedad de figuras complicadas como las de la Figura 1 pueden calcularse anal´ ıticamente, pero tambi´n gr´ficamente mediantefuniculares. Adee a m´s, tambi´n pueden calcularse a ojo: dependiendo de a e ´ e su sensibilidad, este ultimo m´todo puede ser razonablemente exacto. (Si quiere calibrar su ojo, marque sobre la Figura 1 d´ndepiensa que est´ el punto G; o a podr´ comprobar al final cu´nto error cometi´.) a a o
C

2 cm B D

Descomposici´n. . . o
En este ejemplo hay pocas dudas que de el centro de gravedad est´ en lavertical de C, lo que no se sabe a es que a altura. Como en el procedimiento anal´ ıtico, lo primero es descomponer la figura complicada en figuras de las que sabemos calcular area y posici´n del centro degrave´ o dad mediante f´rmulas simples, v´ase la Figura 2 y el o e Cuadro 1.

3 cm

A

4 cm 6 cm

E

Figura 1.

C

g3 B M N D

g1 g2

A

E

Figura 2.

Cuadro 1: Pol´ ıgonoDEN+ABM AENM BCD Total ´ Area cm2 3 12 6 21 yg cm 2 1,5 3,67
(Sigue en el reverso.)

C pq

pr G ps 2,19 cm pt

P

Q

R

S

T

Figura 3.

Construcci´n funicular o
A a Copyleft c 2007,V´zquez. Printed with free software: GNU/Linux/emacs/L TEX 2ε /Postscript.

Con estos resultados podemos interpretar el area ´ de cada trozo como un vector, en particular, como una fuerza. Encontrarel centro de gravedad G de la figura completa equivale a encontrar el m´dulo y posici´n o o de la resultante de ese conjunto de fuerzas. Para ello podemos emplear, precisamente, una construcci´n fuonicular, v´ase la Figura 3. e Primero se sit´an fuerzas proporcionales a las areas u ´ en horizontales que pasan por los centros de gravedad respectivos. A parte, se traza el pol´ ıgono vectorial...
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