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DESARROLLO.
1. Aplicaciones de las Derivadas Parciales.
Derivadas Parciales:
En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x serepresenta con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:
df/dx = dxf = f’x
Donde ∂ es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.
Cuando una magnitud A es función de diversas variables (x,y,z,...), es decir:
A = f (x, y, z,…)
Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función A en un puntodado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.
Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.
Aplicación de las DerivadasParciales en Administración y Economía:
En esta sección estudiaremos varias aplicaciones de las derivadas parciales en administración y economía, dentro de las cuales incluiremos el costo marginal, análisis marginal, la superficie de demanda, las funciones de producción, el teorema de euler, demanda marginal, elasticidad parcial de la demanda, productividad marginal.
a)    COSTO MARGINAL: Elcosto marginal por unidad es la razón (instantánea) de cambio del costo total con respecto a la producción, esto es:
Costo Marginal = derivada del costo total
Si la función de costo de producir las cantidades x e y de dos bienes esta dado por: c = Q(x,y), entonces las derivadas parcial de c son las funciones de costo marginal, así:


NOTA.- En la mayor parte de los problemas económicos loscostos marginales son positivos.
Ejemplo:
En la función de costo de producción dos artículos x e y es C=Q(x,y)=x2y2-3xy+y+8, determinar el costo marginal con respecto a x, y el costo marginal con respecto a y.

Esto quiere decir, si y se mantiene constante 4, al producir una unidad adicional de x, agregara 84 unidades, la producción de una unidad adicional de y, aumentara 64 unidadesmonetarias al costo total.
b)    ANALISIS MARGINAL.- El término “análisis marginal” en economía, hace referencia a la práctica de usar una derivada para estimar el cambio en el valor de una función como resultado de un aumento en una unidad en una de sus variables (similar al caso de las funciones de una variable).
Ejemplo:
Supongamos que la producción diaria Q de una fabrica depende de lacantidad k de capital invertido (medido en unidades de 1000 dólares) en la fábrica y equipamiento, y también del tamaño L de la fuerza de trabajo (medida en horas – trabajador).
En economía las derivadas parciales dQ/dk y dQ/dL se conoce como los productos marginales del capital y del trabajo respectivamente. De interpretaciones económicas de esos dos productos marginales. DQ/DL = elproducto marginal del trabajo que es el ritmo al que cambia la producción Q con respecto a la mano de obra L para un nivel fijo k de capital invertido, por lo tanto dQ/dL es aproximadamente el cambio en la producción que resulta si el capital invertido se deja fijo y el trabajo se aumenta en una hora-trabajador.
En forma similar, dQ/dk = producto marginal del capital es aproximadamente el cambioen la producción que resulta si el tamaño de la fuerza de trabajo se deja fija y el capital invertido se aumenta en 1000 dólares.
Aplicaciones de las Derivadas Parciales en la Física Matemática:
Algunos ejemplos típicos de ecuaciones en derivadas parciales son:
Ecuación de Difusión del Calor:
Es la clásica ecuación unidimensional de difusión del calor, de segundo orden, lineal, homogénea...