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Índice
4.1 Definición de espacio vectorial………………………….........3-4
4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades………………………………………………..…...…5-7
4.3 Combinación lineal, independencia lineal……........................................................................................................8-11
4.4 base y dimensión de un espacio vectorial, cambio debase……………………………………………………………12-21
4.5 espacio vectorial con producto interno y sus propiedades……………………………………………...……22-25
4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalizacion de gran-schmidt...........................................................................................................26-30
Bibliografías……………………………………………………......31







4.1 Definición espacio vectorial:
En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructuraalgebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna(llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
Históricamente,las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales.
Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases dela geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de una curva plana. Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores. Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baricéntricas de August FerdinandMöbius de 1827.
La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen delanálisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de unaadecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.
El origen de la definición de los vectores es la definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que es un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo.Los vectores se reconsideraron con la presentación de los números complejos de Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por este último (Hamilton fue además el que inventó el nombre de vector). Son elementos de R2 y R4; el tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien también definió lossistemas de ecuaciones lineales.

Un espacio vectorial sobreun cuerpo  (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto  no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro , es decir
  
4) tenga elemento opuesto, es decir
 
y la operación producto por un escalar:Operación externa tal que:
5) tenga la propiedad asociativa:
  
6)  sea elemento neutro del producto:
 
7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:
  
8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:
  



4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades

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