Torque

Cap´ ıtulo 7

Torque, centro de masas y equilibrio
7.1. Producto vectorial

Para lo que sigue, necesitamos introducir una nueva operaci´n entre dos vectores, llamada o producto vectorial o producto cruz. Definici´n: o Sean A y B dos vectores. Entonces definimos el vector C, que es el producto vectorial de A y B, por: ˆ C = A × B ≡ |A| |B| sin γ C , (7.1) ˆ donde γ es el ´ngulo (m´s peque˜o)entre los dos vectores A y B, y C es un vector unitario a a n perpendicular al plano engendrado por los vectores A y B. Hay dos vectores unitarios que son perpendiculares al plano engendrado por los vectores A y B. Por convenci´n debe usarse el que se obtiene usando la regla de la mano derecha. o Regla de la mano derecha: Empu˜e la mano y estire el dedo pulgar. Oriente los dedos n empu˜ados demanera que apunten a lo largo del ´ngulo γ (desde A hacia B); entonces el n a ˆ pulgar indica la direcci´n y sentido del vector C. o De la definici´n se desprende que el producto cruz de dos vectores es otro vector. Notemos o que la definici´n del vector C es independiente de cualquier sistema de coordenadas. Es o inmediato que x×x=y×y =z×z =0, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x × y = −ˆ × x = z , ˆ ˆ y ˆ ˆ y × z = −ˆ × y =x ˆ ˆ z ˆ ˆ y z × x = −ˆ × z = y . ˆ ˆ x ˆ ˆ 183

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Torque, centro de masas y equilibrio

Una caracter´ ıstica importante del producto cruz es que no es conmutativo, sino anticonmutativo; en efecto, de la definici´n se observa inmediatamente que: o A × B = −B × A El producto cruz es distributivo respecto a la suma de vectores: A × (B + C) = A × B + A × C y (A + B) × C = A × C + B × C .Evaluemos el producto cruz entre los dos vectores A y B en t´rminos de sus coordenadas. e Sean A y B dos vectores A = (Ax , Ay , Az ) = Ax x + Ay y + Az z ˆ ˆ ˆ B = (Bx , By , Bz ) = Bx x + By y + Bz z , ˆ ˆ ˆ entonces se tiene A × B = (Ax x + Ay y + Az z ) × (Bx x + By y + Bz z ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = Ax Bx x × x + Ax By x × y + Ax Bz x × z + Ay Bx y × x + Ay By y × y + ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ +Ay Bz y × z +Az Bx z × x + Az By z × y + Az Bz z × z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = (Ax By − Ay Bx )ˆ + (Ay Bz − Az By )ˆ + (Az Bx − Ax Bz )ˆ z x y Considere el paralel´gramo engendrado o por dos vectores A y B (ver figura 7.1). El ´rea de tal paralel´gramo viene dado a o por ´ Area = |A × B| . Figura 7.1 Ilustremos el uso del producto cruz con dos problemas. Problema 1: Sean P1 =(2,1,5), P2 =(5,2,8) y P3 =(4,8,2) lascoordenadas de los v´rtices e de un tri´ngulo. Calcule su ´rea. a a Soluci´n: El vector que une los puntos P1 y P2 es o A = 3ˆ + y + 3ˆ , x ˆ z mientras que el vector que une los puntos P1 y P3 es B = 2ˆ + 7ˆ − 3ˆ . x y z .

7.1 Producto vectorial

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Ahora observe que el m´dulo del producto vectorial de los vectores A y B es igual al doble o de ´rea del tri´ngulo, por lo tanto a a ´ Area del == 1 |A × B| 2 1 | − 24ˆ + 15ˆ + 19ˆ| x y z 2

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Problema 2: Sean A y B dos vectores unitarios en el plano x, y , que forman a ´ngulos −α y β con el eje x, respectivaˆ mente (ver figura 7.2). Eval´e el producu to cruz de estos vectores de dos maneras, una vez usando la definici´n y la segunda o vez usando la expresi´n en t´rminos de las o e coordenadas cartesianas, y de esta maneraencuentre una expresi´n para sin(α + β). o

Figura 7.2

Soluci´n: El ´ngulo entre los vectores A y B es α + β, luego o a |A × B| = |A| |B| | sin(α + β)| = sin(α + β) . Por otra parte |A × B| = |(cos α x − sin α y ) × (cos β x + sin β y | ˆ ˆ ˆ ˆ = |(cos α sin β + sin α cos β) z | = cos α sin β + sin α cos β . ˆ Igualando las dos expresiones anteriores concluimos que sin(α + β) = cos α sin β + sin αcos β . Ejercicios: 1. ˆ Encuentre un vector unitario A que sea simult´neamente perpendicular a los vectores a ˆ u = 2ˆ + y − z y v = x − y + z . ¿Cu´ntos vectores unitarios A existen con esta x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a propiedad? Sea A = x + 3ˆ − 2ˆ. Encuentre un vector en el plano x, y que sea perpendicular a ˆ z y ˆ ˆ A. Verifique la expansi´n del producto vectorial triple: o A × (B × C) = B (A · C) − C (A...