torsion en secciones circulares
Páginas: 8 (1953 palabras)
Publicado: 6 de julio de 2013
1
Torsión de Barras Circulares.
Introducción
Este capítulo está dedicado al estudio de las tensiones y deformaciones tangenciales en
la sección transversal de un elemento (miembro) debido a la acción de un momento de
torsión (momento en torno al eje longitudinal del elemento). Este estudio estará
restringido a secciones circulares macizas y huecas.
Hipótesis Básicas para MiembrosCirculares
Considerar miembros de sección transversal circular maciza o tubular.
Una sección circular plana, perpendicular al eje del miembro, permanece plana
después de aplicada la torsión. En otras palabras, no tiene lugar el alabeo o
distorsión de planas normales al eje del miembro.
En un miembro de sección circular sometido a torsión, las deformaciones
unitarias de corte varían linealmentedesde el eje central, alcanzando su
máximo valor max en la periferia de la sección (Fig. 1).
Se considera un material homogéneo y linealmente elástico.
Deformación de un miembro circular sometido a torsión.
Considerar la rotación relativa de dos secciones circulares maciza adyacentes de radio c
de un elemento de longitud L, tal como lo muestra la Fig. 1.
x
x+x
x
x
r = c
Fig. 1.Rotación relativa de dos secciones circulares adyacentes debido a torsión
max = (c)
2
De la geometría de la Fig. 1 se obtiene la siguiente relación
dx
d
r
x
r
x
=
=
0
lim (1)
La expresión anterior, debido a la hipótesis de la geometría de deformación, es válida
para cualquier valor de r tal que r c. Además, de la geometría de deformación
presentada en laFig. 1, se tiene que un plano paralelo al eje longitudinal x rota en forma
relativa en un ángulo debido al ángulo . Por lo tanto, si el plano tenía forma de
rectángulo, luego de la rotación relativa de la sección transversal tiene forma de
rombo.
Si la expresión de la Ec. (1) se discretiza, para pequeños valores de la deformación se
cumple
x
r
= (2)
donde y estánexpresados en radianes.
De la Ec. (2) se puede concluir lo siguiente:
La deformación de corte es proporcional al ángulo
La deformación de corte es proporcional a la distancia r medida desde el eje
del elemento circular hasta el punto en consideración.
La deformación de corte varía linealmente con la distancia medida desde el
eje del elemento circular
La deformación de corte máxima se da en la superficie del elemento (r = c)
x
c
= max (3a)
max
c
r
= (3b)
3
Tensiones debido a la Torsión en el Rango Elástico.
Considerar la ley de Hooke para la tensión de corte
= G (4)
donde G es el módulo de rigidez o módulo de corte del material. Utilizando las Ecs. (3)
y (4), se obtiene
max
c
r
= (5)
lo que indica que la tensión de corte varíalinealmente con la distancia r medida desde
el eje longitudinal del elemento circular. Para el caso de una sección anular, se cumple
la siguiente relación (Fig. 2)
max
2
1
min
c
c
= (6)
y
z
c
Mt
z c2
c1
max
min
Fig. 2. (a) Distribución de tensiones tangenciales debido a la torsión en una
sección maciza y (b) en una sección anular
(a)
(b)
4
Momento de Torsión Interno: MtConsiderar las tensiones que actúan en la sección transversal mostrada en la Fig. 3. Por
equilibrio, se deben cumplir las siguientes relaciones
=
A
xz dA 0 (7a)
=
A
xy dA 0 (7b)
= ( + )
A
t xz xy M y z dA (7c)
=
A
t M rdA (7d)
r dA
c
dA
c
r
M r
A A
t =
= max 2
max
(7e)
J
c
Mt
max = (7f)
donde J es el momento polar de inercia conrespecto a O (Fig. 2a). Utilizando Ecs. (5) y
(7f), se obtiene
t M
J
r
(r) = (8)
Las Ecs. (7) y (8) se conocen como las fórmulas de la torsión elástica. Suponer que la
seccion circular transversal está compuesta por dos materiales diferentes. Se asume que
xz
xy
r
z
y
z
y
Mt
Fig. 3. Equilibrio en la sección transversal debido a un momento de torsión
5
en la interacción de...
Torsión de Barras Circulares.
Introducción
Este capítulo está dedicado al estudio de las tensiones y deformaciones tangenciales en
la sección transversal de un elemento (miembro) debido a la acción de un momento de
torsión (momento en torno al eje longitudinal del elemento). Este estudio estará
restringido a secciones circulares macizas y huecas.
Hipótesis Básicas para MiembrosCirculares
Considerar miembros de sección transversal circular maciza o tubular.
Una sección circular plana, perpendicular al eje del miembro, permanece plana
después de aplicada la torsión. En otras palabras, no tiene lugar el alabeo o
distorsión de planas normales al eje del miembro.
En un miembro de sección circular sometido a torsión, las deformaciones
unitarias de corte varían linealmentedesde el eje central, alcanzando su
máximo valor max en la periferia de la sección (Fig. 1).
Se considera un material homogéneo y linealmente elástico.
Deformación de un miembro circular sometido a torsión.
Considerar la rotación relativa de dos secciones circulares maciza adyacentes de radio c
de un elemento de longitud L, tal como lo muestra la Fig. 1.
x
x+x
x
x
r = c
Fig. 1.Rotación relativa de dos secciones circulares adyacentes debido a torsión
max = (c)
2
De la geometría de la Fig. 1 se obtiene la siguiente relación
dx
d
r
x
r
x
=
=
0
lim (1)
La expresión anterior, debido a la hipótesis de la geometría de deformación, es válida
para cualquier valor de r tal que r c. Además, de la geometría de deformación
presentada en laFig. 1, se tiene que un plano paralelo al eje longitudinal x rota en forma
relativa en un ángulo debido al ángulo . Por lo tanto, si el plano tenía forma de
rectángulo, luego de la rotación relativa de la sección transversal tiene forma de
rombo.
Si la expresión de la Ec. (1) se discretiza, para pequeños valores de la deformación se
cumple
x
r
= (2)
donde y estánexpresados en radianes.
De la Ec. (2) se puede concluir lo siguiente:
La deformación de corte es proporcional al ángulo
La deformación de corte es proporcional a la distancia r medida desde el eje
del elemento circular hasta el punto en consideración.
La deformación de corte varía linealmente con la distancia medida desde el
eje del elemento circular
La deformación de corte máxima se da en la superficie del elemento (r = c)
x
c
= max (3a)
max
c
r
= (3b)
3
Tensiones debido a la Torsión en el Rango Elástico.
Considerar la ley de Hooke para la tensión de corte
= G (4)
donde G es el módulo de rigidez o módulo de corte del material. Utilizando las Ecs. (3)
y (4), se obtiene
max
c
r
= (5)
lo que indica que la tensión de corte varíalinealmente con la distancia r medida desde
el eje longitudinal del elemento circular. Para el caso de una sección anular, se cumple
la siguiente relación (Fig. 2)
max
2
1
min
c
c
= (6)
y
z
c
Mt
z c2
c1
max
min
Fig. 2. (a) Distribución de tensiones tangenciales debido a la torsión en una
sección maciza y (b) en una sección anular
(a)
(b)
4
Momento de Torsión Interno: MtConsiderar las tensiones que actúan en la sección transversal mostrada en la Fig. 3. Por
equilibrio, se deben cumplir las siguientes relaciones
=
A
xz dA 0 (7a)
=
A
xy dA 0 (7b)
= ( + )
A
t xz xy M y z dA (7c)
=
A
t M rdA (7d)
r dA
c
dA
c
r
M r
A A
t =
= max 2
max
(7e)
J
c
Mt
max = (7f)
donde J es el momento polar de inercia conrespecto a O (Fig. 2a). Utilizando Ecs. (5) y
(7f), se obtiene
t M
J
r
(r) = (8)
Las Ecs. (7) y (8) se conocen como las fórmulas de la torsión elástica. Suponer que la
seccion circular transversal está compuesta por dos materiales diferentes. Se asume que
xz
xy
r
z
y
z
y
Mt
Fig. 3. Equilibrio en la sección transversal debido a un momento de torsión
5
en la interacción de...
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