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Semana 07[1/21]

Sumatorias

12 de abril de 2007

Sumatorias

Semana 07[2/21]

Sumatorias

Progresiones aritméticas

Progresión aritmética
Es una sumatoria del tipo
n

(A + kd)
k =0

es decir, donde ak = A + kd, para valores A, d ∈

Ê.

Utilizando las propiedades de sumatoria, obtenemos que esta suma es igual a
n

A·

n

1+d ·
k =0

Nos basta, entonces,calcular la sumatoria

k
k =0

n

k
k =0

Sumatorias

Semana 07[3/21]

Sumatorias

Progresiones aritméticas

Para ello utilizaremos el método de Gauss: como la suma en

Ê es conmutativa, entonces

n

S=

k
k =0

puede ser calculado de las dos formas siguientes
S = 0 + 1 + 2 + . . . + (n-1) + n
S = n + (n-1) + (n-2) + . . . + 1 + 0
Si sumamos estas dos igualdades,obtenemos
S =0+
1
+
2
+ . . . + (n − 1) + n
S = n + (n − 1) + (n − 2) + . . . +
1
+0
2S = n +
n
+
n
+...+
n
+n
Como cada suma posee (n + 1) sumandos, obtenemos que
S=

n(n + 1)
2

Sumatorias

Semana 07[4/21]

Sumatorias

Progresiones aritméticas
Propiedad
Si n ≥ 0,

n

k=
k =0

n(n + 1)
2

Demostración.
Por inducción sobre n ≥ 0.
Caso n = 0: Hay que demostrar que0

k=
k =0

0·1
2

lo cual es directo pues ambos lados valen 0.
Supongamos que la fórmula vale para algún n ≥ 0. Entonces
n

n+1

k = (n + 1) +

k
k =0

k =0

n(n + 1)
(Aquí aplicamos la hipótesis inductiva.)
2
(n2 + n) + 2(n + 1)
=
2
2
n + 3n + 2
(n + 1)(n + 2)
=
=
2
2
= (n + 1) +

con lo que completamos la demostración.
Sumatorias

Semana 07[5/21]Sumatorias

Progresiones aritméticas

Es importante notar que
n

n

n

k =0+
k =0

k=
k =1

k
k =1

por lo que es irrelevante si la suma se considera desde k = 0 o desde k = 1.
También, notemos que si 1 ≤ n1 ≤ n2 son números naturales, entonces
n2

k =n1

n1 −1

n2

k=

k−

k=
k =0

k =0

n2 (n2 + 1) (n1 − 1)n1
(n1 + n2 )(n2 − n1 + 1)
−
=
2
2
2

por loque sabemos calcular esta suma entre cualquier par de números.
Finalmente, volviendo a la progresión aritmética, podemos ahora dar su fórmula explícita:

Fórmula progesión aritmética
n

(A + kd) = A(n + 1) + d
k =0

Sumatorias

n(n + 1)
2

Semana 07[6/21]

Sumatorias

Progresiones geométricas
Progresión geométrica
Es una sumatoria del tipo
n

Ar k
es decir, donde ak = Ar k, para valores A, r ∈

Ê.

k =0

Supongamos que r = 1. El caso r = 1 es muy sencillo, y queda como ejercicio para el lector.
Similarmente a como procedimos antes, podemos decir que esta suma equivale a
n

rk

A·
k =0

por lo que basta calcular esta última sumatoria.
Denotemos

n

rk

S=
k =0

Se tiene entonces que
n

r k +1

r ·S =
k =0

por lo que
n

(r k − r k+1 )

S−r ·S =
k =0

Sumatorias

Semana 07[7/21]

Sumatorias

Progresiones geométricas

n

(r k − r k +1 )

S−r ·S =
k =0

Reconocemos en esta última igualdad una suma telescópica, la cual vale r 0 − r n+1 . Por lo tanto
S(1 − r ) = 1 − r n+1
y gracias a que r = 1 se obtiene la fórmula

Propiedad
Si n ≥ 0 y r = 1,
n

rk =
k =0

1 − r n+1
1−r

Queda propuesto allector demostrar por inducción esta propiedad.
Nuevamente es posible calcular esta suma entre cualquier par de números. Si 1 ≤ n1 ≤ n2 , entonces
n2

rk =

k

r −

r =
k =n1

n1 −1

n2
k

k =0

k =0

r n1 − r n2 +1
1 − r n2 +1 1 − r n1
−
=
1−r
1−r
1−r

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Semana 07[8/21]

Sumatorias

Progresiones geométricas

Así, volviendo al caso de la progresióngeométrica, obtenemos que ésta cumple la fórmula

Fórmula progresión
geométrica
Si r = 1,
n

Ar k =
k =0

A(1 − r n+1 )
1−r

Sumatorias

Semana 07[9/21]

Sumatorias

Algunas sumas importantes
Veamos a continuación algunas sumas importantes que podemos calcular usando lo conocido.

Propiedad
Si n ≥ 0,

n

k2 =
k =0

n(n + 1)(2n + 1)
.
6

Demostración.
Queda...