toxicidades

6. Derivación (p. 96)
El problema de la recta tangente a un punto en una curva.

Recta tangente de la gráfica de la
función 𝑓(𝑥) en el punto 𝑃.

UMG – Facultad de Ingeniería, Matemática yCiencias Físicas – Ing. Octavio Roberto Puac Álvarez

1

Luego la derivada de la función 𝑓 𝑥 viene dada por:
𝑓 ′ 𝑥 = lim

∆𝑥→0

𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
=
∆𝑥

𝑚

donde: 𝑚 es la pendiente de la rectatangente a la curva, que pasa por el
punto 𝑃 𝑥 , 𝑦 .
UMG – Facultad de Ingeniería, Matemática y Ciencias Físicas – Ing. Octavio Roberto Puac Álvarez

2

Ejemplo 1): encontrar la ecuación de larecta tangente a la gráfica de la función
𝑓 𝑥 = 𝑥 2 en el punto 2 , 4 . Utilice el proceso de límite.
𝑓

′

𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
𝑥 = 𝑚 = lim
∆𝑥→0
∆𝑥

𝑦 = 4𝑥 − 4

(𝑥 + ∆𝑥)2 −𝑥 2
⇒ 𝑚 = lim∆𝑥→0
∆𝑥
𝑥 2 + 2𝑥 ∆𝑥 + (∆𝑥)2 −𝑥 2
⇒ 𝑚 = lim
∆𝑥→0
∆𝑥
∆𝑥(2𝑥 + ∆𝑥)
∆𝑥→0
∆𝑥

⇒ 𝑚 = lim

⇒ 𝑚 = lim 2𝑥 + ∆𝑥 ⇒
∆𝑥→0

𝑚 = 2𝑥

Luego, 𝑥 en el punto es 2 ⇒ 𝑚 = 2 2 ⇒

𝑚=4

Por lo tanto, la ecuaciónde la recta tangente a la curva en el punto (2, 4) es:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 ⇒ 𝑦 − 4 = 4 𝑥 − 2 ⇒ 𝑦 = 4𝑥 − 8 + 4 ⇒ 𝑦 = 4𝑥 − 4
UMG – Facultad de Ingeniería, Matemática y Ciencias Físicas – Ing. OctavioRoberto Puac Álvarez

3

Ejemplo 2): encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 1 en los puntos: a) 1 , 2 ; b) (−1 , 0) Utilice el proceso de límite.
(𝑨 +𝑩) 𝟑 = 𝑨 𝟑 + 𝟑𝑨 𝟐 𝑩 + 𝟑𝑨𝑩 𝟐 + 𝑩 𝟑

𝑓 ′ 𝑥 = 𝑚 = lim

∆𝑥→0

𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
∆𝑥

(𝑥 + ∆𝑥)3 +1 − 𝑥 3 + 1
⇒ 𝑚 = lim
∆𝑥→0
∆𝑥
𝑥 3 + 3𝑥 2 ∆𝑥 + 3𝑥(∆𝑥)2 + (∆𝑥)3 +1 − 𝑥 3 − 1
⇒ 𝑚 = lim
∆𝑥→0
∆𝑥∆𝑥(3𝑥 2 + 3𝑥 ∆𝑥 + (∆𝑥)2
⇒ 𝑚 = lim
∆𝑥→0
∆𝑥

⇒ 𝑚 = lim 3𝑥 2 ⇒
∆𝑥→0

𝑚 = 3𝑥 2

UMG – Facultad de Ingeniería, Matemática y Ciencias Físicas – Ing. Octavio Roberto Puac Álvarez

4

Si: 𝑚 = 3𝑥 2 ⇒pendiente en (1 , 2) es: 𝑚 = 3(1)2 ⇒

𝑚=3

⇒ 𝑦 − 𝑦1 = 3 𝑥 − 1 ⇒

𝑦 − 2 = 3 𝑥 − 1 ⇒ 𝑦 = 3𝑥 − 3 + 2 ⇒ 𝑦 = 3𝑥 − 1

pendiente en (−1 , 0) es:

𝑚 = 3(−1)2 ⇒

𝑚=3

⇒ 𝑦 − 𝑦1 = 3 𝑥...