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Publicado: 10 de febrero de 2013
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.
Sólidos de revolución.
Ejemplo 1.
Sea la función [pic]. Esta es una recta que pasa por el origen. Si se resuelve la integral [pic] se encontrará elárea bajo la función en el intervalo [pic]. Esto se logra haciendo un número infinito de rectángulos, calculando su área y posteriormente sumándolas. La base de cada rectángulo se representa como[pic] y su altura está dada por la función evaluada en el punto determinado. En la figura se muestra como se calcula el área utilizando tan solo 5 rectángulos de base 1. En una integral el número derectángulos se hace infinito y, por lo tanto, la base es de dx.
[pic]
Supóngase que se quiere calcular el volumen de un cono (para éste caso particular, se aplica para cualquier función continua).Un cono se puede formar poniendo a girar la recta [pic] alrededor del eje x. Al hacer esto se obtendrá una figura tridimensional: un cono. Para calcular su volumen se siguen los mismos pasos quepara calcular el área. En lugar de hacer un número infinito de rectángulos, se hace un número infinito de cilindros, se calcula el volumen de cada uno de ellos y se suman. En la siguiente figura semuestra como se calcula el volumen utilizando 5 cilindros.
[pic]
El volumen de un cilindro se obtiene [pic] donde la r es el radio y h la altura. En la figura anterior se puede ver que loscilindros son horizontales, implicando esto que la altura [pic]. El radio de cada cilindro está dado por la función evaluada en diferentes puntos. De manera análoga a la integral, el volumen del cono es[pic]
donde a proviene de [pic] indicando el intervalo en donde se está trabajando, n es el número de rectángulos, k se refiere al cilindro con el que se trabaja y [pic] es la altura delcilindro, por lo tanto,
[pic]
En este caso
[pic]
El resultado es el volumen de un cilindro de radio máximo de 5 unidades y de 5 unidades de altura. Si se compara el resultado con el...
Sólidos de revolución.
Ejemplo 1.
Sea la función [pic]. Esta es una recta que pasa por el origen. Si se resuelve la integral [pic] se encontrará elárea bajo la función en el intervalo [pic]. Esto se logra haciendo un número infinito de rectángulos, calculando su área y posteriormente sumándolas. La base de cada rectángulo se representa como[pic] y su altura está dada por la función evaluada en el punto determinado. En la figura se muestra como se calcula el área utilizando tan solo 5 rectángulos de base 1. En una integral el número derectángulos se hace infinito y, por lo tanto, la base es de dx.
[pic]
Supóngase que se quiere calcular el volumen de un cono (para éste caso particular, se aplica para cualquier función continua).Un cono se puede formar poniendo a girar la recta [pic] alrededor del eje x. Al hacer esto se obtendrá una figura tridimensional: un cono. Para calcular su volumen se siguen los mismos pasos quepara calcular el área. En lugar de hacer un número infinito de rectángulos, se hace un número infinito de cilindros, se calcula el volumen de cada uno de ellos y se suman. En la siguiente figura semuestra como se calcula el volumen utilizando 5 cilindros.
[pic]
El volumen de un cilindro se obtiene [pic] donde la r es el radio y h la altura. En la figura anterior se puede ver que loscilindros son horizontales, implicando esto que la altura [pic]. El radio de cada cilindro está dado por la función evaluada en diferentes puntos. De manera análoga a la integral, el volumen del cono es[pic]
donde a proviene de [pic] indicando el intervalo en donde se está trabajando, n es el número de rectángulos, k se refiere al cilindro con el que se trabaja y [pic] es la altura delcilindro, por lo tanto,
[pic]
En este caso
[pic]
El resultado es el volumen de un cilindro de radio máximo de 5 unidades y de 5 unidades de altura. Si se compara el resultado con el...
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