Trabajo de matematicas

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TRABAJO DE MATEMATICAS
LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA

NOMBRES

INSTITUCION EDUCATIVA SAN SEBASTIAN
LA PLATA (HUILA)
2010
LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA

Presentado por
Nombres

Grado

Presentado a
Carlos Alberto Paloma

INSTITUCION EDUCATIVA SAN SEBASTIAN
LA PLATA (HUILA)
2010
LA ELIPSE

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias ados puntos fijos llamados focos es una constante positiva.
Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.1 Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera unesferoide alargado

Ecuaciones de la elipse
La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

Donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y ael semieje mayor.
Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (x1, y1), la ecuación es:

En coordenadas polares con origen en un de sus focos la ecuación de la elipse es:

En coordenadas polares con origen en su centro la ecuación de la elipse es:

La ecuación paramétrica de una elipse con centro en (h,k) es:

Con no es el ángulo θ del sistema de coordenadas polares conorigen en el centro de la elipse (tampoco es el ángulo del sistema de coordenadas polares con origen en algún foco de la elipse). La relación entre α y θ es


Elementos de una elipse


Elementos de una elipse.
La elipse posee un «eje mayor», trazo AB (que equivale a ), y un «eje menor», trazo CD (que equivale a ); la mitad de cada uno de esos ejes recibe el nombre de «semieje», de talmanera que se los denomina «semieje mayor» y «semieje menor», respectivamente.
Sobre el «eje mayor» existen dos puntos y que se llaman «focos».
El punto es uno que pertenezca a la «elipse».
________________________________________

Ejemlos

1. Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos
F (3, 0) y F’(-3, 0), además el intercepto de lagráfica con el eje x es el punto (5, 0).
Solución:
Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3 (fig. 6.5.8) se tiene que, y por tanto .


fig. 6.5.8.
De esta forma, los vértices de la elipse son los puntos V1(5, 0), V2(-5, 0), V3(0, 4) y
V4(0, -4). Además, su ecuación viene dada por :

2. Trazar la elipse cuya ecuación viene dada por:
25x2 +4y2 = 100
Solución:
La ecuación: 25x2 + 4y2 = 100, puede escribirse en las formas equivalentes:
x 2 + y 2= 1 (porqué?)
4 25

La última ecuación corresponde a una elipsse centrada en el origen cuyo eje mayor es b = 5 y eje menor es a = 2. Además, los focos de la elipse están localizados sobre el eje y.
De otro lado, , de donde y en consecuencia, los focos se encuentranlocalizados en los puntos y .
Además, los vértices de la elipse son los puntos: V1(2, 0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0).
La figura 6.5.9. recoge toda la información obtenida.


fig. 6.5.9.
3. Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuación:
4x2 + y2 –16x + 2y + 13 = 0

Solución:
La ecuación dada se puede escribir en las formasequivalentes:

(completación de cuadrado)
(factorización y simplificación)

(dividiendo por 4)


Esta última ecuación corresponde a la elipse cuyo centro es el punto C(2, -1), semiejes;
a = 1 y b = 2. Como a < b, el eje focal es paralelo al eje y y tiene por ecuación x = 2 (ver fig. 6.5.10.).
Los vértices son los puntos V1(2, 1), V2(2, -3), V3(3, -1) y V4(1, -1).
Como , se...
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