Transformacion lineal nula

Transformación Lineal.
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
Transformación lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector único Tv ϵ W y que satisface, paracada u y v en V y cada escalar ∝,
1. T (u+v)= Tu+Tv
2. T(∝v)= ∝Tv, donde ∝ es un escalar.

Tres notas sobre notación.

1. Se escribe T: V → W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.
2. Se escriben indistintamente Tv y T (v). denotan lo mismo; las dosfases se leen “T de v”. eso es análogo a la notación funcional f(x), que se lee “f de x”.
3. Muchas de las definiciones y teoremas se cumplen también para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos).

Sean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal de V en W es una función T: V →W, que satisface las siguientes propiedades:1. T(u + v) = T(u) + T(v), Ʉu, v Є V
2. T(av) = aT(v), Ʉ a Є R, Ʉv Є V

Se dice, respectivamente, que T preserva la suma y el producto por escalares.
En caso de que V = W la transformación lineal T : V→V también recibe el nombre de operador lineal sobre V.

Ejemplo Si V y W son espacios vectoriales, entonces la aplicación T: V → W tal que T(v) = para todo v Є V es una transformaciónlineal. Esta se llama la transformación nula. En efecto, esta es una transformación lineal ya que:

T(u + v) = = + = T(u) + T(v),
T(av) = = a = aT(v).

Ejemplo Si V es un espacio vectorial, la aplicación id: V → V tal que id(v) = v es una transformación lineal llamada identidad de V.

Núcleo e imagen de una transformación lineal

Objetivos. Definir el núcleo y la imagen de unatransformación lineal, probar que son subespacios (del dominio y del contradominio respectivamente), ver la relación con las propiedades inyectiva y suprayectiva, conocer algunos ejemplos.
Luego en otras clases vamos a estudiar, como construir bases en el núcleo y en la imagen, y como están relacionadas sus dimensiones.

Requisitos. Transformación lineal, imagen de un conjunto bajo una aplicación,preimagen de un conjunto bajo una aplicación, funciones inyectivas, funciones suprayectivas.

Definición (imagen de una transformación lineal). Sean V; W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T 2 L (V; W). La imagen de T se define como el conjunto de todos los valores de la aplicación T:

im(T) : = { w ∈ W : ∃v ∈ V tal que w = T (v) } .



Definición (núcleo deuna transformación lineal). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L (V, W). El núcleo (kernel, espacio nulo) de T se define como la preimagen completa del vector nulo:

Ker (T ) := { x ∈ V : T (x) = 0W }.

Proposición (núcleo de una transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W ).Entonces ker(T ) es un subespacio de V .

Proposición (imagen de una transformación lineal es un subespacio vectorial del codominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W ).
Entonces im(T ) es un subespacio de W .

Parte de demostración. Se aplica el criterio de subespacio. Se demuestra que el conjunto im(T ) es cerrado bajo la adición y bajo la multiplicación porescalares, además contiene al vector cero.
Mostremos que el conjunto im(T ) es cerrado bajo la adición. Sean w1, w2 ∈ im(T ).
Por la definición de la imagen, existen v1, v2 ∈ V tales que w1 = T (v1), w2 = T (v2). Por la linealidad de T,

T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) = w1 + w2.

Logramos encontrar un vector x = v1 + v2 tal que T (x) = w1 + w2. Por la definición de la imagen, esto...