Transformaciones en el plano

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INTRODUCCION

En la naturaleza todo se mueve constantemente, hasta las cosas que aparentemente vemos en reposo poseen una dinámica interna.

Gracias a los aportes que hizo a la geometría el francés René Descartes, al introducir la idea de movimiento en esta disciplina, en el fabuloso mundo de la geometría, también podemos mover y transformar los objetos y la matemática deja de ser estática yse convierte en dinámica y transformadora. Si observamos con cuidado la naturaleza, las obras de arte y muchas construcciones realizadas por el hombre, el elemento que le da realce, armonía y belleza en sus formas, es la simetría con que están realizadas. Para constatar tal afirmación, podemos citar muchos ejemplos, entre ellos:

El Hombre de Vitruvio o La Divina Proporción

Una creación deLeonardo Da Vinci para unas ilustraciones publicada por el matemático Lucas Pacioli en el año de 1509. Pacioli propone un hombre perfecto, en el cual las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas, de tal forma, que estirando las manos y los pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja una circunferencia.

Un cuadrado que tiene por lado la altura del cuerpo,que es un cuerpo armonioso, es igual a la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Así, el cociente entre la altura del hombre, que es el lado del cuadrado, y la distancia entre el ombligo y la punta del dedo de la mano, que es el radio de la circunferencia, es un número áureo. ¿Qué es un número áureo?La Espiral de Oro

Podemos construir una espiral de oro con un rectángulo áureo. Con un compás proyectamos un lado y trazamos una línea perpendicular construimos un rectángulo áureo, repitiendo el proceso varias veces y finalmente unimos los lados con el compás. Observe la belleza de esta espira y su relación con la naturaleza. En el caracol también hay una espiral de oro.



Esta espiral hacautivado, por su belleza y propiedades, la atención de los matemáticos, artistas y naturalistas. Las siguientes imágenes nos lo muestran:

Con los ejemplos anteriores podemos demostrar la importancia del estudio de la geometría para entender mejor el mundo que habitamos.

En esta guía estudiaremos los movimientos de traslación, rotación y simetría, pero antes haremos un repaso del planocartesiano.

Hallaremos las imágenes de polígonos mediante cada uno de estos movimientos y la composición de varios movimientos.

La mejor manera de conocer el espacio es moviéndose dentro de él y observar qué sucede con los objetos de este espacio cuando efectuamos un cambio, entendiendo el cambio como cualquier tipo de transformación.

Los movimientos que estudiaremos no son estáticos, sonactivos y dinámicos, esta actividad y dinamismo la descubrimos cuando actuamos sobre los objetos, cuando interactuamos con ellos, cuando jugamos, cuando realizamos construcciones que la imaginación y la naturaleza nos inspiran.

Las líneas, los planos y los cuerpos no se consideran en forma aislada y estática, sino relacionadas y en cambio continuo, configurándose así los sistemas. Esta idea demovimiento en las transformaciones inspiró al pintor holandés Maurits Cornelis Escher para desarrollar su trabajo sobre las teselaciones. Observa las gráficas.













EL PLANO CARTESIANO

El filósofo y matemático francés René Descartes, nacido en 1596, aportó a la filosofía, principalmente, el discurso del método, obra en la que expresa reglas para conseguir verdades. Dice queel origen de esta obra filosófica está en la lógica, el álgebra y la geometría. Al discurso del método le agregó un anexo titulado geometría en el que propone una nueva forma para el estudio de la geometría: EL SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES, llamado Sistema de Coordenadas Cartesianas, en honor a este gran filósofo y matemático, con lo cual las matemáticas lograron un gran desarrollo en los...
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