Transformaciones lineales

Transformaciones Lineales y el Teorema de las Dimensiones |
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José Gregorio Rivas Pino C.I. 11.951.351 |
Enero 2009 |
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Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño” Mérida
ALGEBRA LINEAL

Introducción
El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque másformal, espacios vectoriales, y transformaciones lineales. Los espacios vectoriales son un tema central en las matemáticas modernas, por lo que el álgebra lineal se usa ampliamente en álgebra (estudio de las estructuras) y análisis funcional. El álgebra lineal tiene una representación concreta en la geometría analítica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las cienciassociales.
Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, entre otras.
Analizaremos Las Transformaciones Lineales y el Teorema de las Dimensiones, para su comprensión debemos tener en cuenta lo siguiente:
Una función, es una aplicación de unconjunto A a otro B de forma que a cada elemento de A le corresponde una única imagen en B. Se suele denotar por f: A → B.
Una ecuación, no es más que una propiedad o una relación entre unas determinadas variables.
Por último, decir que a cada función le corresponde una ecuación, que es la de los puntos de su gráfica. Por eso se dice que las ecuaciones son más "generales" que las funciones.Una función es como una máquina: tiene una entrada y una salida.
Y lo que sale está relacionado de alguna manera con lo que entra.
El dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X´s yque nos generan una asociación en el eje de las Y´s.
 
El conjunto llamado codominio o rango de la función, en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función  o valores en el eje de las Y´s

El término transformación lineal por sí mismo significa un cambio de forma. Unaaplicación, función o transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un elemento de un sub espacio, para transformarlo en un elemento de otro sub-espacio. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar másfácilmente. Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman unatransformación lineal.
Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio

Índice

Introducción | 2 |
Índice | 4 |
Transformaciones Lineales y Dimensiones | |
Teoremas | |
| Teorema de lasDimensiones | 5 |
| Teorema fundamental de las Transformaciones Lineales | 5 |
Transformaciones Lineales | 5 |
| Tipos de Transformaciones Lineales | 6 |
| Propiedades de las Transformaciones Lineales | 7 |
| Núcleo (kernel) e imagen | 7 |
| Transformación Lineal Singular y No Singular | 8 |
| Clasificación de las Transformaciones Lineales | 8 |
| Matriz asociada a una...