Transformaciones lineales

Transformaciones Lineales

Introducción: Ciertas ideas matemáticas han tenido un impacto tan grande en el desarrollo posterior de esta ciencia, que algunos historiadores las califican de revolucionarias. Un ejemplo de esas ideas singulares es la creación del plano cartesiano, que se le atribuye al filósofo y matemático René Descartes, aunque también la propuso, al mismo tiempo y de maneraindependiente, el abogado y matemático aficionado Pierre de Fermat. Con esta idea, que tal vez hoy pueda parecer simple, se hizo posible el estudio de la Geometría de una manera nueva y muy fructífera.

Surgió lo que hoy se denomina Geometría Analítica, disciplina que permite asociar la Geometría y el Álgebra, al estudiar las ecuaciones algebraicas que corresponden a las distintas figurasgeométricas: rectas, parábolas, circunferencias, elipses, hipérbolas y muchas otras. Por ejemplo, si se considera la simetría con respecto a la siguiente recta vertical:
El segmento es simétrico con respecto a la recta (o eje de simetría) del segmento . Para determinar los puntos y a partir de y , basta con trazar perpendiculares al eje de simetría por los puntos y , y sobre estas perpendiculares seubicarán y , de tal manera que sus respectivas distancias a sean idénticas a las distancias entre y y entre y respectivamente: (Ver figura de la izquierda)

Esta situación se puede estudiar con mucha precisión si se considera dentro del plano cartesiano, suponiendo que es, por ejemplo, el eje de las ordenadas: Aquí, si y , es evidente que las coordenadas de y son: (1, 1) y (4, 4) respectivamente.También es muy fácil encontrar las ecuaciones de las rectas que pasan por y respectivamente ( rectas en el plano ).(Ver figura de la izquierda)

El uso del plano cartesiano permite calcular las coordenadas del simétrico de cualquier punto dado del plano. Esto muestra que, el simple hecho de asociarle un par de números (coordenadas cartesianas) a cada punto del plano, permite hacer luego cálculosque contribuyen a describir con precisión las figuras geométricas y estudiar sus propiedades a través de sus ecuaciones algebraicas. En lo que sigue, se estudiarán ciertas transformaciones del plano cartesiano, es decir, funciones ( funciones ) que tienen como dominio y conjunto de llegada el plano cartesiano.
Transformaciones Lineales del Plano. La simetría del plano con respecto al eje de lasordenadas es un ejemplo de una función, a la que llamaremos ;

definida así:

donde es el punto del plano que es simétrico de con respecto al eje de las ordenadas. (Ver figura de la izquierda)

Como puede verse en la figura, si es un punto del plano, el simétrico de respecto al eje de las ordenadas es .
Es decir:

Por ejemplo:

Si se considera a cada punto del plano como un vectorcuyo origen es el punto y cuyo extremo es el punto , se tiene que es una función del espacio vectorial en sí mismo.(Ver figura de la izquierda) ( vectores en el plano)

La función tiene dos propiedades muy particulares:

1. Dados dos vectores, por ejemplo:
| |

Si se considera el vector suma:

Entonces su imagen es igual a:

En otras palabras, el simétrico de coincide con elvector suma de los simétricos de y . Esta propiedad se cumple siempre, no sólo para los vectores dados: y . Es decir, para cualesquiera vectores , se cumple:
|
La segunda propiedad se refiere a la imagen, mediante , de cualquier vector del plano que sea de la forma , donde es un número real, es un vector del plano, digamos, , y La imagen de es y se cumple que:
|

Por ejemplo:
Si y ,entonces

Por otra parte:
y .

Así,

Estas dos propiedades de la función se resumen a veces diciéndose que preserva la suma y el producto de vectores por un escalar. Todas las funciones de en (del plano en sí mismo) que cumplen las propiedades 1) y 2) son llamadas funciones lineales o transformaciones lineales. Hay funciones del plano en sí mismo que no son transformaciones lineales....