Transformaciones Lineales
Páginas: 4 (946 palabras)
Publicado: 13 de mayo de 2013
5. TRANSFORMACIONES LINEALES.
5.1 Introducción a las transformaciones lineales.
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preservendicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar entérminos de matrices, y viceversa.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones linealesocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en lafísica, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
Definición de transformación lineal y sus propiedades
Definición. Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo k.Una transformación lineal de V en W, es una función
tal que:
i) ,
ii) , ,
En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas enlos espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.
Observaciones:
i) Si
5.2 Definición del núcleo o kernel, e imagen de una transformación lineal.
Kernel o Núcleo
Definición94 Sea
una transformación lineal. Se define el Kernel o Núcleo de la transformación lineal
, denotado por
al conjunto de las preimágenes del vector nulo, es decir
Ejemplo Hallar el conjuntode las preimágenes del vector nulo para la transformación lineal
Solución: Necesitamos determinar los vectores
de
tales que
Evaluando
es decir,
luego, utilizando la matriz...
5.1 Introducción a las transformaciones lineales.
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preservendicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar entérminos de matrices, y viceversa.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones linealesocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en lafísica, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
Definición de transformación lineal y sus propiedades
Definición. Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo k.Una transformación lineal de V en W, es una función
tal que:
i) ,
ii) , ,
En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas enlos espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.
Observaciones:
i) Si
5.2 Definición del núcleo o kernel, e imagen de una transformación lineal.
Kernel o Núcleo
Definición94 Sea
una transformación lineal. Se define el Kernel o Núcleo de la transformación lineal
, denotado por
al conjunto de las preimágenes del vector nulo, es decir
Ejemplo Hallar el conjuntode las preimágenes del vector nulo para la transformación lineal
Solución: Necesitamos determinar los vectores
de
tales que
Evaluando
es decir,
luego, utilizando la matriz...
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