Transformaciones lineales

DEFINICIÓN TRANSFORMACIÓN LINEAL Y SUS PROPIEDADES
Tambien llamada funcion lineal. Es una aplicación entre dos espacios vectoriales que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. El término función lineal se usa incorrectamente en análisis matemático y en geometría para designar una recta, un plano, o en general una variedad lineal.
Son aplicaciones lineales losoperadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica.
Las matrices y los determinantes nos permiten expresar de una manera clara, concisa y elegante la condición de compatibilidad de los sistemas de ecuaciones lineales (s.e.l.) - Teorema de Rouché-Fröbenius -.
Cuando estudiamos un s.e.l. debemos preguntarnos:
¿Tiene soluciones el sistema?, es decir, ¿es compatible?
Si tienesoluciones ¿cuántas y cuáles son?
Visto esto, estudiar un sistema es:
DISCUTIR = Averiguar si un s.e.l. tiene solución, y si tiene, ver si es única o no.
RESOLVER = Hallar la solución si es única, o las soluciones si son infinitas.
ESTUDIAR = DISCUTIR + RESOLVER
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda
aplicación cuyo dominio y codominio sean espaciosvectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
Transformación lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector único Tv ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar ∝,
1. T (u+v)= Tu+Tv
2. T(∝v)= ∝Tv, donde ∝ es un escalar.
Tres notas sobre notación.
1. Se escribe T: V → W paraindicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.
2. Se escriben indistintamente Tv y T (v). denotan lo mismo; las dos fases se leen “T de v”. eso es análogo a la notación funcional f(x), que se lee “f de x”.
3. Muchas de las definiciones y teoremas se cumplen también paralos espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos).
• Terminología: las transformaciones lineales con frecuencia se llaman operadores lineales.
• Nota: No toda transformación que se ve lineal es en realidad lineal. Por ejemplo, defina T: R→R por Tx= 2x + 3. Entonces la grafica de {(x, Tx): xϵ R} es una línea recta en el plano xy; peroT no es lineal porque T(x+ y) = 2(x +y) + 3 = 2x + 2y + 3y Tx + ty = (2x+3) + (2y+3) = 2x + 2y + 6. Las únicas transformaciones lineales de R en R son funciones de la forma f (x) = mx para algún número real m. así, entre todas las funciones cuyas graficas son rectas, las únicas que son lineales son aquellas que pasan por el origen. En algebra y calculo una función lineal con dominio R estadefinida como una función que tiene la forma f (x) = mx + b. asi, se puede decir que una función lineal es una transformación de R en R si y solo si b (la ordenada al origen) es cero.
DEFINICIÓN DE NÚCLEO O KERNEL, E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K y T una transformación lineal de V en W. El núcleo o kernel de T es:
N ( T ) ( Ker T ) = { v Î V: T ( v ) = 0 w }
Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:
Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
• El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
1. dado que T(0V) = 0W
2. Dados
3. Dados
Se denomina nulidada la dimensión del núcleo. Nulidad (T) = dim (Nu (T))
O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.
rg(T) = dim(Im(T))
Sea una...