Transformaciones lineales

Objetivo.

Demostrar mediante un ejemplo sencillo el comportamiento de un cubo de gelatina sosteniéndolo con las manos en la parte superior e inferior, observándolo lateralmente, la relación queexiste entre el cubo y las transformaciones lineales cuando la gelatina se mueve.

Desarrollo teórico.

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyodominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

Transformación lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es unafunción que asigna a cada vector v ϵ V un vector único Tv ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar ∝,
1. T (u+v)= Tu+Tv
2. T(∝v)= ∝Tv, donde ∝ es un escalar.
Puesto que unatraslación es un caso particular de transformación afín pero no una transformación lineal, generalmente se usan coordenadas homogéneas para representar la traslación mediante una matriz y poder asíexpresarla como una transformación lineal sobre un espacio de dimensión superior.
Así un vector tridimensional w = (wx, wy, wz) puede ser reescrito usando cuatro coordenadas homogéneas como w = (wx, wy,wz, 1). En esas condiciones una traslación puede ser representada por una matriz como:
[pic]

Ya que como puede verse, la multiplicación de esta matriz por la representación en coordenadas homogéneasde un vector da lugar al resultado esperado:
[pic]
La inversa de una matriz de traslación puede obtenerse cambiando el signo de la dirección del vector desplazamiento
[pic]
Similarmente, elproducto de dos matrices de traslación viene dado por:
[pic]
Debido a que la suma de vectores es conmutativa, la multiplicación de matrices de traslación es también conmutativa, a diferencia de lo quesucede con matrices arbitrarias, que no necesariamente representan traslaciones.

Desarrollo práctico.

Imagínese un cubo de gelatina sostenido con las manos como se aprecia en la vista lateral...