Transformaciones Lineales

Instituto Tecnológico de Piedras Negras

Algebra Lineal





Actividad #13







Maestro: Ing. Víctor Manuel Reyna Navarro



27 de Julio de 2015. Piedras Negras Coah.

1. Núcleo de kernel
Definición. Sean V y W espacios vectoriales y sea T: V → W una transformación lineal. Entonces:
El kernel (o núcleo) de T, denotado como ker T, está dado por
Ker T = {v ∈ V: Tv = 0}
Observación. Note queker T es no vacío ya que por el Teorema 1 de las Transformaciones lineales, T (0) = 0 de manera que 0 ∈ ker T para toda transformación lineal T. Será interesante encontrar otros vectores en V que sean "mapeados al cero". De nuevo, nótese que cuando escribimos T (0) = 0, el 0 de la izquierda está en V, y el 0 de la derecha está en W.
Ejemplo 1.



Ejemplo 2.






2. Matriz de una transformación linealy representación matricial de una transformación lineal.
Si T es una función de    en      definida por    en donde   A es una matriz de, y dado que la condición    corresponde a la propiedad distributiva de la multiplicación de matrices      y la condición    es también una propiedad de la multiplicación de matrices   .   Entonces T es una transformación lineal.   Y se puede concluir que:
 
   Toda matriz A de    define una transformación lineal de    en    .
Ahora consideremos  una transformación lineal  T  de   en    ; si aplicamos esta transformación a los vectores base de  , obtenemos los  siguientes vectores:
                                   
 
 
 
Si construimos una matriz   AT cuyas columnas sean los vectores   ;   AT   define una transformación lineal de   en         talque si
                                              Para   i = 1, 2,..., n.
Entonces
                          
Y por lo tanto     para   i = 1, 2,..., n.   Concluimos que T y la transformación AT,   son la misma, porque tienen el mismo efecto sobre los vectores base.
AT   es la matriz cuyas columnas son los vectores  .
 
La matriz AT   se llama matriz de transformación de T   o representaciónmatricial de T.
Si se usan bases diferentes, las matrices de transformación que se obtendrán serán diferentes.
 
Ejemplo 1. 
Encuentre la representación matricial de la transformación lineal T de  en   definida por
                                  
Aplicamos T a los vectores base de:
              ,    ,    ,    
 
Entonces la matriz AT   es
                                    .
 
 
Ejemplo 2. 
En elejemplo 1 se utilizó la base canónica para construir la matriz de representación de la transformación lineal

Ahora se utilizará la base.
 
,    ,    ,    
 
Entonces la nueva matriz de transformación queda:

















3. Transformación y sistema de ecuaciones lineales.
Las transformaciones lineales junto con los conceptos de núcleo y rango desempeñan un papel importante en el análisis desistemas de ecuaciones lineales. Se verá que estos sistemas permiten visualizar los conjuntos de soluciones.
Un sistema de m ecuaciones lineales con n variables se puede expresar en forma matricial de la siguiente manera:
Ax = y
A es una matriz de m x n; ésta es la matriz de coeficientes del sistema. El conjunto de soluciones es el conjunto de x que satisface esta ecuación. Ahora cuenta con una formaelegante de visualizar este conjunto solución. Sea T: Rn → Rm la transformación lineal definida por A. El sistema de ecuaciones se puede escribir de la siguiente manera:
T(x) = y
El conjunto de soluciones es el conjunto de vectores en Rn transformado por T en el vector y. Si y no pertenece al rango de T. Entonces el sistema no tiene solución. Véase la siguiente figura:

Ecuaciones homogéneas
Estaforma de ver los sistemas de ecuaciones lineales nos lleva al siguiente resultado.
Teorema 1. El conjunto de soluciones de un sistema homogéneo de m ecuaciones lineales con n variables, Ax = 0, es un subespacio de Rn.
Demostración. Sea T la transformación lineal de Rn en Rm, definida por A. El conjunto de soluciones es el conjunto de vectores en Rn transformado por T en el vector cero. El...