Transformaciones lineales

TRANSFORMACIONES LINEALES
 
En esta sección, comenzamos con la definición de transformacion lineal y varios ejemplos que esperamos ilustren mejor el concepto.
 
Definición.   Sean  V  y  W espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal  de V  en  W, es una función   tal que:
i)   ,  .
           ii)   ,  ,  .
En otras palabras, una transformación lineal es unafunción que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.
 
Observaciones:
i)                    Si   es una transformación lineal, entonces  .
Enefecto,  . Por la ley de la cancelación en W , tenemos que .
Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva  (i) de T. Este hecho lo usamos en el siguiente inciso.
 
ii)                    eslineal si y solo si , , .
Si T lineal, entonces . Inversamente, supongamos que , , . Probemos las dos condiciones para que  T  sea lineal:
a)    .
b)  
Nótese que usamos el hecho de que  , lo cuales consecuencia del comentario hecho al final del inciso (i).
 
iii)                  es lineal si y solo si
             ,  .
             La demostración se hace por inducción sobre n.a)      Si  , entonces  , por la condición  (ii) de T.
b)      Supongamos válido para n. Probemos para  :
Por la condición (i) de T, tenemos que,
        
      Y por hipótesis de inducción, tenemos que,          
      Así que podemos concluir que,
        
Este último inciso se puede abreviar usando la notación sigma como sigue:

Veamos algunos ejemplos de transformaciones lineales, dondeharemos uso extenso de la observación  (ii) de arriba.
 
Ejemplo 1. 
Sea   tal que  ,  . Entonces  T es lineal,  ya que , y  por otro lado,  . Por lo tanto, vemos que  .
Esta transformación recibe elnombre de la transformación cero y se denota como  .
 
Ejemplo 2.
Sea    tal que  ,  . Entonces  T es lineal, ya que  .
Esta transformación recibe el nombre de la transformación identidad...