Transformada de fourier

Transformada Discreta de Fourier.

Procesado Digital de Señales. 4º de Ingeniería Electrónica. Profesor Emilio Soria. E.T.S.E. Universitat de València.

Hasta ahora se ha visto......
Importancia de la respuesta en frecuencia de un sistema Transformada de Fourier de una señal discreta

Tenemos otra forma de caracterizar los sistemas L.T.I Herramienta muy potente para determinar salidascuando las entradas son sinusoides o combinación de éstas. Permite realizar aplicaciones que en el dominio temporal son difíciles de comprender (por ejemplo filtrado)

Tenemos una forma de expresar la señal como una suma infinita de sinusoides Utilizando esta descomposición de la señal junto con la respuesta en frecuencia tenemos una forma sencilla de determinar la salida de un sistema en elestacionario.

PROBLEMA: TENEMOS UN SUMATORIO CON LÍMITES ±∞
Procesado Digital de Señales. 4º de Ingeniería Electrónica. Profesor Emilio Soria. E.T.S.E. Universitat de València.

l= 0

!
Pn"1 # x n rt r $ + x n # Pn"1 # x n N

$ + x n # Pn"1 # x n
rt Pn"1 " k(n) # x n # Pn"1 Pn = $
N #1 # j" 2" $ " s" n x(n) " e N N N #1 N #1 j" 2" $

!

k(n) =

!

% Desarrollo en serie de Fourierdiscreto (DFS)
P " k(n) # x n # Pn"1 Pn = n"1 0 k= $

x(n) =

x(k) " r t( n $ k ) #

!

! !

N una Supongamos$1 señal $ j# 2# % # k# n discreta x(n) periódica (periodo ! esto es N); x(n) = " # Sabemos queNa nivel temporal esta señal se puede x(n+N)=x(n). X (k) # e N expresar, en el primer periodo y usando deltas desplazadas, como: k= 0

&

x(n) = n= 0 x(n) =
N $1

%

% %
k= 0N

=& " X (k) " e x(k) " #"( n($ k ) k ) k= 0 n= 0 x(k) # n $
$ j# 2# % # k# n

%%

x(n) =

k= 0 j" plantear Podemos 2" # " s" n

%

x(k) " # ( n $ k )

k= 0

!
!

) exponenciales = 2# $ #"k# n x(n) " e N %1 N complejas j# $ ) en = dominio frecuencial, esto es x(n)el " # & X (k) # e N ( k= 0

' N %1 otra

&

' 0 j# 2# $&k#sn k# j" 2" $ " ( k#s)" nN %1 N #1 #1 % j" 2" # "s" 2" representaciónk" n#*j" 2" $ "j" n # " s" nN! N #1 alternativa usando N N e X (k)= e #( N =& " X x(n) =N" # e que,(k) " e yax(n) " e , "visto,Nson la base(k) "x(n) = " # hemos e X como N X (k) #N kN= s e

%
n= 0

, +

!

% !0% k= n= 0

%
n= 0

j" 2" # " ( k$s)" n N $1

& &
k= 0

)

k= 0

!!

k= 0 j" 2" # " s" n % j" 2" # " k" n * j" Evidentemente el objetivo ahora esdeterminar( k$s)" n y α; para ello algunas operaciones.....n' N %1 X(k) N $1 j" 2" # " N #1 # j"s" n " s" ) ' N #1 2" $ N $ Nj" 2" $ ,k"e * 2" ""n '0 k & s x(n) " eN# j"N #1 " = $ " j" 2" $ "((k) )""e X k#s n # j" 2" $ " s" n " k" # N ' N #1 #1 =( ) = ) " N " X (s) , , !j" 2" $$1 n *% ej" 2" $ " s" n2" # " (N #1)" n ! # j" 2" $ " s" n N k$s N k !s N $1 N $1 N 2" # ) x(n)x(n) " eN X (k)= e k= & N X(k) " e N+ , " e N$ j" ( 0 ) x(n) "= x(n) " e N j" = % ""s" n X (k) " e N N e = & ""e " % ") , ,n= 0 N ) N

% x(n) " e
n= 0

( k= 0= & "

&

% % X+(k) " e
k= 0 n= 0
N #1

%
n= 0

!

% %%
n= 0
k= 0 n= 0

&

( k= 0

&

+

!

Aplicando la ortogonalidad de las ! exponenciales complejas, esto es, N "1 " j# 2# $ # ( k"s)# n

%
n= 0

# j" 2" $ " s" n N x(n) " etomando α=1/N n N $1 j" 2" # " s"
= & "! " X (s) N
j" 2" # " ( k$s)" n
N

N $1 N $1

$ j" 2" # " ( k$ N

!

%e
n= 0

N

'0 =( )N

!

k&s k=s

! e !N ! Ecuación de análisis

N $1

%
n= 0

Procesado Digital de Señales. 4º de Ingeniería Electrónica. N $1 Profesor Emilio Soria. j" 2" # " s" n E.T.S.E. Universitat de València.

n= 0 N )# n N "1 " j# 2# $ # ( k"s#1 2" $ k" '0 j"k & "s n 1N X (k) = e ! # j" X= ( " e N (k) EcuaciónNde síntesis 2" $ " s" n x(n) = " #1 n= 0 N )N k = s 0 k= x(n) $ "e n N n== & " N " X (s)0 N #1 j" 2" " k" !
N #1

= & " % % X (k) " e % x(n)&" es $ '0 k = (X (k) = % x(n) " e )N k = s
N #1
n= 0

# j" 2" " k" n k= N 0 n= 0

%

# j" 2" $ " k" n N x(n) " e

!

%

x(n) " e

N

= & " N " X (s)

1 x(n) = " N

%
k= 0...