Transformada de fourier

INTRODUCCIÓN

La transformada de Fourier es una de las herramientas matemáticas más útiles en ciencia. Sus aplicaciones van desde la teoría de la señal hasta la Climatología, pasando por la Geografía e incluso la Biología. En relación a la Astronomía, hay muchos campos en los que es útil aplicarla.

En el ramo Ingenieril también tiene muchas aplicaciones, aquí vamos a tratar con respectoal tratamiento de imágenes, un tema importante ya que si esto se estudia más a fondo, llegamos a poder aplicar esta herramienta matemática en la parte visual de los robots.

DEFINICIÓN

La transformada de Fourier es una operación que se realiza sobre funciones. Es decir tomamos dos variables, una dependiente de la otra, una función y la vamos a convertir en otra variable que depende de unanueva, otra función.

La transformada de Fourier de una función continúa e integrable de una variable real x se define por:

F(u)= ∫_(-x)^x▒〖f(x) e^2πiux dx〗

Observamos que la transformada de una función real es una función completa. Es decir , F(u)=R(u)+(u)i, donde R(u) e I(u)son la parte real e imaginaria de F(u), respectivamente.

La variable u recibe el nombre de variable defrecuencia.

El módulo de F(u), |F(u)|= (R(u)2+ I(u)2)1/2 recibe el nombre del espectro de Fourier. El cuadrado del espectro se denomina espectro de potencias o densidad espectral de f(x). Su ángulo P(u) = arctg(I/u)/(R(u)) recibe el nombre de fase.

APLICACIÓN

Uso en la Ingeniería

La Transformada de Fourier se utiliza para pasar al dominio de la frecuencia una señal, para así obtenerinformación que no es evidente en el dominio del tiempo. Se demuestra matemáticamente que una señal periódica se puede descomponer en suma de senos y cosenos formando una base ortogonal, der esta forma, señales como la voz o las ondas se pueden descomponer en un sumitario de señales trigonométricas. El conjunto de constantes que multiplican a cada frecuencia forman el espectro de frecuencia. De estaforma se puede llegar a diversos experimentos muy interesantes.

Por ejemplo:
La voz humana recorre el espectro de los 300Hz.
Si conocemos la densidad espectral de un sistema y la entrada podemos conocer la densidad espectral de la salida. Es útil para el diseño de filtros radio transistores.

Tratamiento de Imágenes:

En el tratamiento de imágenes la transformada de Fourier es muyútil, podemos aplicar desde un filtro para disminuir las altas frecuencias y eliminar ruido. En el caso de las imágenes, las señales corresponden a los niveles de gris o intensidad de las diferentes filas o columnas de la matriz de la imagen, El eje del tiempo de reemplaza por los ejes X-Y.

PROGRAMA EN MATLAB

Este programa permite aplicar 3 tipos de filtros a una imagen.

close all
I =imread('aaaa.tif');%Almacenamos la imagen en I
imshow(I)
title('imagen original')%Titulo

[N,M] = size(I);
%P = N+m1-1;
%Q = M+m2-1;

P = 2*N;
Q = 2*M;

Ip = zeros(P,Q);
Ip(1:N,1:M) = I;

Ipf = fftshift(fft2(Ip));
figure(2)
imshow(log(abs(Ipf)+1),[])
title('Transformada de Fourier de Imagen Original');

D = zeros(P,Q);
H = D;
%Elegir el filtro que desee aplicar a la imagenfiltro = input('Filtro 1: Ideal, 2: Butterworth, 3: Gaussiano ?');
Do = input('Frecuencia de Corte (Do) ?');
if filtro == 2
n = input('Orden de filtro Butterworth (n) ?');
m = 2*n;
end
S = ['Ideal '
'Butterworth'
'Gaussiano '];

for u=1:P
for v=1:Q
D(u,v) = sqrt((u-P/2)^2+(v-Q/2)^2);
switch filtro
case 1
ifD(u,v) < Do
H(u,v) = 1;
else
H(u,v) = 0;
end
case 2
H(u,v) = 1/(1+(D(u,v)/Do)^m);
case 3
H(u,v) = exp(-0.5*(D(u,v)/Do)^2);
end
end
end

figure(3)
mesh(H)
title(sprintf('Espectro del Filtro %s',S(filtro,:)));

It = H.*Ipf;

figure(4)...