Transformada de Fourier

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE CIENCIAS
´
ESCUELA DE MATEMATICA

SERIES DE FOURIER

Ram´n Bruzual
o
Marisela Dom´
ınguez

Caracas, Venezuela
Marzo 2003

Ram´n Bruzual
o
Correo-E: rbruzual@euler.ciens.ucv.ve

Marisela Dom´
ınguez
Correo-E: mdomin@euler.ciens.ucv.ve

Laboratorio de Formas en Grupos
Centro de An´lisis
a
Escuela de Matem´tica
a
Facultad deCiencias
Universidad Central de Venezuela
http://euler.ciens.ucv.ve/~labfg

Pr´logo
o

Estas notas fueron escritas especialmente para los Talleres de Formaci´n Matem´tica
o
a
(TForMa), auspiciadas por la Asociaci´n Matem´tica Venezolana. Han sido concebidas
o
a
como material de estudio para un primer curso de an´lisis de Fourier.
a
Se estudian los siguientes temas: Funcionesperi´dicas y series de Fourier. Condiciones
o
para la convergencia puntual y en media aritm´tica de una serie de Fourier. Convergencia
e
en media cuadr´tica de la serie de Fourier. Desigualdad de Bessel, identidad de Parseval
a
y aplicaciones. Comportamiento de las series de Fourier. Desarrollo en serie de senos y en
serie de cosenos. Aplicaci´n a la resoluci´n de ecuaciones en derivadas parciales.o
o
Los objetivos fundamentales del curso son motivar a los participantes hacia el estudio del
an´lisis arm´nico y conseguir que apliquen en forma rigurosa los t´picos que ya han estudiado,
a
o
o
tanto para comprender resultados cl´sicos, como para resolver problemas sencillos.
a
La noci´n de integral que usamos es la de Riemann, para un curso de mayor profundidad
o
ser´ necesaria laintegral de Lebesgue.
ıa
El requisito fundamental para la lectura de estas notas es un curso avanzado de c´lculo
a
diferencial e integral en una variable. M´s en detalle: los participantes deben dominar
a
las nociones b´sicas de los siguientes temas: c´lculo diferencial en una variable, integral
a
a
de Riemann unidimensional, convergencia uniforme de sucesiones y series de funciones. Esrecomendable que el participante posea un m´
ınimo de conocimientos de ´lgebra lineal y
a
rudimentos de c´lculo en varias variables.
a

iii

iv

Finalmente, agradecemos a los organizadores del TForMa la oportunidad de participaci´n
o
que nos han brindado.

Ram´n Bruzual.
o
Marisela Dom´
ınguez.
Marzo 2003.

Contenido
Cap´
ıtulo 1. Funciones peri´dicas y series de Fourier
o1

1. Funciones trigonom´tricas
e

1

2. Polinomios trigonom´tricos
e

3

3. Per´
ıodo de una funci´n
o

5

4. Coeficientes de Fourier

6

5. Lema de Riemann-Lebesgue

12

6. Ejercicios adicionales

16

Cap´
ıtulo 2. Condiciones para la convergencia puntual y en media aritm´tica de una
e
serie de Fourier

17

1. Condici´n suficiente para la convergenciapuntual
o

17

2. Convergencia de las medias aritm´ticas
e

20

3. Ejercicios adicionales

24

Cap´
ıtulo 3. Convergencia en media cuadr´tica de la serie de Fourier
a

27

1. Media cuadr´tica
a

27

2. Aproximaci´n en media cuadr´tica
o
a

28

3. Desigualdad de Bessel e Identidad de Parseval

29

4. Aplicaci´n a sumaci´n de series num´ricas
o
o
e

31

5.Ejercicios adicionales

32

Cap´
ıtulo 4. Comportamiento de las series de Fourier

33

1. Fen´meno de Gibbs
o

33

2. Integraci´n y derivaci´n de series de Fourier
o
o

36

3. Orden de magnitud de los coeficientes de Fourier

40

4. Ejercicios adicionales

41

Cap´
ıtulo 5. Casos m´s generales
a

43
v

vi

CONTENIDO

1. Notaci´n compleja
o

43

2. Funciones deper´
ıodo arbitrario

44

3. Desarrollo en serie de cosenos y en serie de senos

45

4. Ejercicios adicionales

47

Cap´
ıtulo 6. Aplicaci´n a la resoluci´n de ecuaciones en derivadas parciales
o
o

49

1. Introducci´n
o

49

2. Ecuaci´n de la cuerda vibrante
o

50

3. Ecuaci´n del calor
o

55

Bibliograf´
ıa

59

´
Indice

61

CAP´
ıTULO 1...